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est convergente : le symlynle j"&)(x) désigne comme ordinairement la différence du n-ième 

 ordre de &{l), savoir: 



r— n 



J"®(1) = y^(--l )"(")©(« — ;• + 1). (22 bis) 



r = 



Ce théorème démontré, nous aurons comme coiollaire cette proposition géné- 

 rale concernant la nature analytique de l'intégrale @ (x) : 



Les intégrales &(x) à indice fini sont holomorphes dans toutes les parties finies 



du plan des x, en dehors des points isolés 0, — 1, — 2, — 3, où les fonctions en 



question ont généralement des pôles simples. Le résidu du pôle — s est égal à a^. 



Or, au lieu du premier de ces deux théorèmes nous préférons démontrer 

 l'autre théorème suivant, beaucoup plus général encore : 



Désignons par f(t) une fonction de t intégrable de t =^ à t ^= 1, puis mettons: 



Wix) = C/( /) / ■•■ ' dt, W{t, ij) - (fia ha-'-' da, (23) 



nous aurons cette formule générale 



s = n— 1 



W(.r)-^(*'^"~^)j'W(l) = (-1)" ^n•(""|^^■)J(4W(^y))._M^ (23bis) 



Pour établir la démonstration de ce théorème, introduisons cette suite de 

 fonctions : 



/,(/) - (fault 



•'o 



ut) = (fn X it) dt, 



•o 



puis appliquons une formule intégrale bien connue, nous aurons: 



/■„(/) - ^^^J^^^, -jl'd-«)" '■fia)da -^ („ !"i,,-|i'n-«)" '•/■(«O^/«, 

 ou, ce (jui revient au même: 



/■"(') ■= 77,-^1)7 ^-J." "'(',.'/))„ = f («) 



Cela posé, une intégration par parties donnera, en vertu de (23), 



W(x) ^ K,+ (l-x)Ù(t)f -dt, (ß,) 



•o 



où A', désigne une constante par rapport à .v; pour déterminer la valeur de A' 

 mettons dans (/?,) x = 1, nous aurons: 



