15 71 



.9 = 



tandis que les série '\^„-rM correspondantes deviendront toujours divergentes, 

 comme le montre clairement la valeur limite (14). 

 Enfin, supposons convergente la série 



s = œ 



%r(.r) ^y^^- 



(.r-|-s)(a;+s+l) .... (x + r^s)' 



4 = 1) 



nous aurons évidemment ces deux autres développements analogues : 



s = cr 



r! J"As 



{-i)"j"%Ax) = y^~ 



»s — n,r 



+ s)(.r + s + l) .... (rc + s-l-/-) 



S=(iC 



(21) 



.1 = 



Remarquons en effet que toutes les séries 



g,(.r + l), 5r(x + 2; , ^r(.v + n) 



sont convergentes; nous obtenons la formule (21) en réunissant, dans l'expression 

 ordinaire obtenue pour la différence du ;i-ième ordre, les termes ayant le même 

 dénominateur, mais la formule (21 bis) en réunissant, au contraire, tous les termes 

 contenant le même numérateur. 



III. 



Nature analytique des intégrales <5(x) à indice fini. 



§7. Transformation de l'intégrale ®{x). 



Il est vrai que la question concernant la possibilité du développement en série 

 5„(x) d'une intégrale quelconque &{x} à indice fini est restée jusqu'ici sans réponse, 

 mais en revanche il est très facile de démontrer ce nouveau théorème général et 

 très intéressant; 



Supposons fini l'indice dune intégrale (S(.r), // est possible de déterminer un positif 

 entier n. tel que ce développement en série 5(.i'): 



@(.v)-y(-^-Mj^^(i) -= ("-■')■ y , '-^:lr"^^ -v~^ ^^2) 



^^ \ s I V '1 / .^L^ (s-|-l)(s + 2) .... (s + n) x+s 



5 = Il S = U 



