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\i—ir\it, 



où n désigne un |)o.silir cnlier; nous aurons: 



ce (|ui donnera ce développement en série Jv,i+i(-^')- 



/9rx^-rn + n.V (H- 1)(*+2) .... (s+n) 



ßn (X) - (n + 1 ) -^ -^^-^ 2 s) (X- + 2 s + ir: .7 Or + 27+ nTr) ' ^^ ^^ 



S = U 



d'où, en posant .s' = ^ ou s' = ^^ , selon que .s est ])air ou impair, ce déveioi)pe- 



mcnl en série (^„(-i'): 



^ (-1)V+ !)(,'+ 2) ■■■■ (s' +;») 

 ^«W =^ (.r + s)(x + s+l) .... (x+s + n)' ^^'^ ""'^ 



série qui ne peut pas être transformée en une série 5„_,.(.i-), où /• désigne un positif 

 entier égal à ;} au plus; car la condition (14) n'est pas remplie ici. 



La formule (18 bis) nous fournit un exemple d'une fonction &{x) à l'indice ;i 

 développable en une série ^„(.i"). Cependant je n'ai pas réussi à démontrer géné- 

 ralement qu'une l'onction &(.v) à indice fini peut être développée dans une série de 

 cette forme. Or, une telle recherche est certainement assez difficile dans tous les 

 cas; applicpions en efl'et la formule (11) pour ;i = à la fonction ßi,{.r), nous 

 trouvons les termes très éloignés de la série (18) sous forme de séries oscillantes entre 

 des limites infinies. 



i;<i- Développements de la fonction J"@(æ). 



Démontrons au contraire cette intéressante jiropossition concernant la fonction 

 J"&{x): 



La différence du n-ièiue ordre d'une fonction &{x) à indice fini À est toujours 

 développable en une série JVjiO^')' pourvu (pie n > Å. 



Nous aurons en effet, en vertu de (9): 



r&i^x) = (-1)"- jV(0(i -/)"/■'■ 'cit, (19) 



ce qui donnera immédiatement : 



Pour la fonction /3',i(.r) introduite dans la formule i^lT) et qui est de l'indice /i, 

 nous avons déjà convergente la série ^«(x), savoir: 



