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S, 



^ (p-f 1)""' ^ *■ 



As.n 



(/,-fl)"-' .^ * (S + 1)" 



comme s nil 





"s, 11 



OÙ /)' désigne un ])osilif entier qui deviendra infini avec p, mais de sorte que 



lim ^ = , 

 ce qui a lieu si nous supposons par exemple: 



^ log/j 

 Cela posé, la proposition fondamentale due à Abkl donnera immédiatement 

 cette valeur limite : 



lim y^s,- --•'"..,. — 0. 



As, Il 



11+ 1 



s = p'+ I 



parce que la série numérique tÇn(l) est convergente. 



Quant à la première des deux sommes susdites, nous aurons pour toutes les 

 fractions correspondantes a^ la valeur limite 



lim £j = 0, 



/)= ce 



ce qui donnera de la même manière: 



ST'- fk._5 _ 



'il" ^ 



P=.^ ' (s + 1)" 



s = 



et nous avons ainsi la démonstration complète de (15). 



Or, la valeur limite (15) déduite, les formules (ß) et (14) montreront que la 

 série ^iifiU') sera convergente, pourvu (jue i^„(.i') le soit. 



Comme corollaire du théorème général que nous venons de démontrer, nous 

 trouverons cette proposition intéressante : 



Supposons intégrahle terme à terme de t = ù t = l la série de puissances 

 (9 bis), l'intégrale correspondante ®(x) est développable dans une série 5"(-^')' *"' " 

 désigne un positif entier fini (pielconque, car nous aurons toujours: 



s = 



Pour illustrer par un exemple d'un certain intérêt le développement d'une 

 fonction @(.r) à indice fini dans une série ^r{-^), posons: 



