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La démonslialion de ce Ihcoiènu' s'clnblil à l'aide de la conclusion ordinaire 

 de /) à p-f 1; en efFel, supposons convergente 5„(,.v), nous avons à dcnionlrer aussi 

 la convergence de g„+i(x). A cet égard remarquons que nous avons généralement: 



As, n — As, „ + 1 — As _ 1, „ + 1 (a) 



As.n + l = Au.n + At,n + A3,n+ ■■■■-{- As, n- (ß) 



Cela posé, il est très facile de démontrer cette proposition : 



Les deux séries ^n(-^") et ?^ii+i(-i"). formées avec les coef/icients siisdils As,,, cl 



As.n + i, seront au même temps convergentes ou divergentes, si nous avons cette valeur 



limite: 



«=« (s-|-l) 



En etTet, désignons par h" et jj""""' les termes généraux des séries 5„(.r) el 

 iÇ„+t(a;) susdites, nous aurons pour les termes de reste correspondants ces deux 

 expressions : 



Rp. q ==- ll'p+l + Up+i + . . . . H- "ï 



puis appliquons celte identité : 



(n + 1)! _ n\ n\^ 



H»(H;+l)(w; + 2)....(H' + n + l) »>(»>+ 1) .... (w + n) (m;+1)(«H-2) ... (w+n + l)' 



nous aurons immédiatement: 



«"+•_»" — n! Ap + i, n+ \ »! Aq,,i + i 



ce qui donnera, en vertu de (14), cette autre valeur limite: 



iim(/?;;,V-fip,r,) = 0, 



7) = a 



et voilà la démonstration complète de la proposilion énoncée. De plus, nous aurons 

 celte autre proposition : 



Supposons convergente la série î^-„(.r), nous aurons cette autre valeur limite: 



.s=p 



lim y '^^'"„,, = 0. (15) 



p=»^ (p4-1)"+' 



s = 



En effet, posons pour abréger 

 nous aurons les inégalités 



l>-%+.>^., 



divisons maintenant en deux parties la somme que nous avons à considérer 



