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Posons maintenant: 



Ä = X .s = GT 



.1=0 « = 



la règle du Cauchy concernant la niulliplicalion de deux séries infinies donnera 

 ininicdiatemenl ces deux formules: 



r = .s 



r = 



^,« =-^^(-1)'"({^)a,_,,„ + p, (11 bis) 



r = 



dont l'une est inverse à l'autre, et oîi il faut supprimer dans (11 bis), pour de jietites 

 valeurs de s, les coefficients A,^. „ + p, dont le premier indice est négatif. Avec cette 

 restriction, les deux formules (11) s'écriront aussi sous cette forme symbolique: 



"■s,ti-Vi> ^=^ J "s, Il (12) 



■fi.v.n = J^'-^s-p.n + p, (12 bis) 



où J et S~ désignent les deux opérations fondamentales du calcul aux différences 

 finies. 



Posons particulièrement n = 0, les deux groupes de formules (11) et (12) nous 

 conduiront de Oj à i4s,p et inversement. 



Cela posé, nous avons démontré ce premier théorème concernant le développe- 

 ment en série g„(x) de l'intégrale @(.r): 



Supposons développable en séries 5Ç„(.r) et ^,ij.,,{x) i intégrale &{x), comme suit: 



s = :c 



X — ' n I A" 



.tfil^ (,r4-s)(.r + s+l) .... (.T + s + n) ^ 



.1=0 



s = x 



^^-"^ ^2. \x + s)ix^s+l)....i.v + s + n+p) ' ^^^ ^'^) 



.s = 



les deux groupes de formules (11) et (12) nous conduiront de l'une à l'autre de ces 

 deux séries. 



§5. Développement en série 5,i+,X.i-) de gnW. 



Quant aux développements (13) et (13 bis), nous avons à démontrer ce théorème 

 fondamental : 



Supposons développable en série 5uU") "'"' intégrale Wi^.r), cette fonction est déve- 

 loppable aussi dans une série g„+p(.T), où p désigne un positif entier quelconque. 



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