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ce qui donnera finalement, en verlu d'un théorème bien connu '\ la formule générale 



g(a-)-g'(.r) =(;({t)r-'dt, (8) 



t'o 



où nous avons posé pour abréger 



On voit que les formules (8) et (8 bis) sont vraies, pourvu qu'une seule des 

 fonctions génératrices <f{t) et (/'{t) soit holomorphe dans l'intérieur du cercle 7 =1. 

 Dans une Note récente'-) j'ai démontré les mêmes formules dans le cas où une des 

 deux fonctions <p{t) et <fi{t) est holomorphe à l'intérieur du cercle 1 — / = 1. 



Or, en s'appuyant sur la théorie moderne des intégrales doubles, il n'est pas 

 très difficile de démontrer la validité des deux formules susdites, pourvu que les 

 intégrales 5(.r) et '^'{.r) aient un sens toutes les deux et que ^(/) et tfi{t) soient finies 

 dans l'intervalle 0</<l; mais cette démonstration générale nous conduirait beau- 

 coup trop loin ici. 



II. 



Les intégrales (5(.r) développables dans une série ^„(x). 



§4. Développements formels. 

 Considérons maintenant cette intégrale: 



®{x) ^Lit)r-'dt, (9) 



•'o 



où il faut admettre généralement 9{(a-)>0, tandis que 



<f{t) = a^+aJA-ar+af+ ..... /,<1; (9 bis) 



nous aurons évidemment ces deux identités : 



&ix) = ^<pn{t)ii-trr''dt =^'^^„+,{t)ii~tr+''r-'dt, (10) 



où nous avons posé pour abréger: 



,f„{t) = ^(/) •(!-/)-", f „+„(/) = f (/).(! -/)"""", (10 bis) 



ce qui donnera: 



<pn+p{t) = ^n(0-(l-0~^ fn(0 = f „+p(/) • (l-O" • 



') U. Dim; Griiiidlagcii etc. p. 521. 



'] Uendicoiiti delle Heale Accadeiiiia dei Liiicci, 17 janvier 1904. 



