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d'où finalement: 



s— X 



5«-S'(-- -iTc^'+X^^^T^- <" 



formule qui est certainement valable, pourvu qu'une seule des séries infinies figurant 

 cond membre soit c( 

 Posons par exemple 



au second membre soit convergente. 



S_ä 



as = /'s = (— 1) s 



les deux séries 5(^) ^t S'(^) sont convergentes toutes les deux, tandis que la pre- 

 mière des séries infinies figurant au second membre de (7) sera (li\ergente ; c'est- 

 à-dire que la formule (7) n'est pas applicable dans ce cas. 



l^es conditions nécesaires et suffisantes qui doivent être remplies par les fonc- 

 tions 5(-^') Pt ^'(.i") pour que la formule (7) soit applicable semblent être assez 

 compliquées. 



On voit que le produit figurant au premier membre de (7) ne peut jamais être 

 développé dans une série de la forme (VU)- ^'^ ^ui t'st évident parce que le produit 

 susdit a toujours des pôles du second ordre dans les points 0, — 1, — 2, — 3, 



Cherchons maintenant une expression intégrale pour le produit susdit '^{x)-^'(x). 

 A cet effet, posons tout d'abord : 



bn 



„•gOv)=J|VnW""-'rf/, 



X~]~l 



une intégration par parties donnera, pourvu que nous ayons à la fois 



cette autre formule: 





Posons ensuite : 



,<i ,.1 



,, ■ ... ... 'dt, 



nous aurons évidemment: 



ce qui donnera, parce que /"„ (1) = 0, 



t"-fn{t) 



d'où 



x + 



I) K 1) Viili-nsli.Selsli.Skr . 7 lla-Mio. ii:ilii|.vi.li'iisk us MKillicni .Mil 





