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y.,.) ^ _c+ y(—^ (s+l )(s-^2)....(s + n) \ 



VW "^^^[s+n + l (x + s)(a: + s + l) .... (x+s+n);' ^''' 



s = 



OÙ n désigne un positif entier fini quelconque. 



Quant à la démonstration de (6), désignons par /"„(.t) le second membre de (5), 

 mais par fn(-v) celui de (6), nous aurons pour s = 0, 1, 2, .3, ..., n — 1, en vertu du 

 cas particulier susdit de (4), l'identité suivante: 



/, + i(.r)-/-,(.r) = 0, 



et voilà la démonstration complète de (6). 



§3. Sur la multiplication de deux séries %(,x). 

 Pour étudier le produit des deux séries 



s = oc S= oc l\ 



s = s = 



considérons tout d'abord ce produit particulier: 

 l'identité évidente 



-\-n x-\-p n — p\x-\-p x-\-nJ 



x-\-i 

 nous conduira sans peine à une formule de la forme suivante : 



.r+n ^^' ' (.f + n)' ^. s — n *.t + s '"->• + "' -^. s — n' 



S=U S=0 



où les accents apposés aux signes de sommation indiquent qu'il faut supprimer 

 dans les deux séries infinies figurant au second membre les termes qui correspon- 

 dent ä s ^ n. 



Cela posé, mettons pour abréger: 



g. = m,,jg(..)-^,) 



notre formule précédente se présente aussi sous cette forme plus élégante : 



b„ ^ ^ Jhibn __ \~" bn Cts , fcngn 



x-\-n''^^^^' (.T + n)' ^ s— ;i'.r + s"^.T + n' 



') Naturellement g'(.>) no désigne pns I;i dérivée de 5(a'), lonilion que nous désignons conslam- 

 nient par g' '(x). 



