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moins. Appliquons ensuite la définition intégrale de la fonction beta, nous verrons 

 que cette autre série infinie 



^„(0 (1 - 1)" =^A,, „ . f (1 - 0" (2 bis) 



s = 



sera intégrable ternie à terme de / = à / = 1, parce que 5n(l) ^'st convergente*), 

 ce qui donnera cette fornmle générale : 



g„(æ) =\V„ (0(1-0"'" "V//, (3) 



«0 



où il faut admettre généralement 3f{(a;)>0; c'est-à-dire que nous avons démontré ce 

 théorème général: 



Les intégrales (3), où la fonction ^„(Z) satisfait aux conditions susdites, sont les 

 seules fonctions développahles dans une série {Çn(^).' inversement toutes ces fonctions sont 

 développables aussi. 



Comme corollaire de ce théorème, nous aurons la proposition suivante qui 

 d'ailleurs est aussi une conséquence immédiate d'un théorème de M. Lerch-): 



Supposons développahle en série %ni:x) une fonction donnée, ce développement ne 

 peut être établi que d'une seule façon. 



Posons par exemple 



^.„(0 = (1-0""", 



où p désigne un positif entier, nous aurons pour /3<n 



s=oo 



æ(æ+l) .... (x+p) \p) '^ (rr; + s)(x + s+l) .... (a; + s+/i)' (4) 



s = ü 



dans le cas particulier n = p + l, le numérateur du terme sommatoire au second 

 membre doit être égal à un; cette formule particulière appartient à Stirling. 

 Supposons maintenant p>n, nous aurons au contraire cette série finie: 



s =£ — 11 



(-i)-('7") 



(4 bis) 



xG-r+l) .... (x-j-p) -^ (.r + s)(.r + s+l) .... (æ + s + n)' 



s = 



La formule obtenue de (4) en y mettant p = nous conduira à une Ifâhs- 

 formation intéressante de cette fonction célèbre de Gauss: 



r(x) = _C+^(^-|-j-^-^^) = D.logr(x), (5) 



S = U 



où c désigne la constante d'EuLER. Nous aurons en effet pour '/'(a) cette autre 

 expression que je crois nouvelle : 



') U. DiNi: Grundlagen etc. p. 521. 



2) Acta Mathematica, t 27, p. 347; 19(Kt 



