tV2 6 



5 — yr 5 — OP S — T. s^ y 



^AA^ ^^s^s^ ^fh^^> ^^s'J.^ 



s = (> s — u S = U s = ü 



sonl convergenles aussi; c'est-à-dire que %n{^') est certainement convergente, pourvu 

 que (^n(«) le soit. 



De plus, l'équation (a) nous montre que "^nix) est absolument convergente ou 

 non, selon que 5„(a) l'est ou ne l'est pas, et vice versa; or, telle est la démonstration 

 complète du théorème énoncé ci-dessus. 



Supposons que l'ordre X du coefficient .4,v, „ soit de la forme / = 1 — £, où s 

 désigne une quantité positive aussi petite qu'on le veut mais d'une grandeur assig- 

 nat)le, la série («) sera absolument convergente; mais cela n'est pas vrai, si nous 

 avons par exemple, pour s>l, 



A - (-!/(«+ 1) (S + 2) .... (s + n+1). 

 '•"^" logs 



dans ce cas ^„(1) est convergente, tandis que la série (a) n'est pas absolument 

 convergente. C'est pourquoi nous avons appliqué la démonstration précédente, 

 beaucoup plus générale. 



Remarquons maintenant ([ue la série obtenue en dilférentianl terme à terme la 

 série 5'>(''-) ^^^ uniformément convergente aussi dans le domaine 91; cette série nou- 

 velle représente certainement') la dérivée de ^,i(;x), ou, ce qui revient au même, 

 %ii{x) est holomorphe dans tout le domaine 5(; c'est-à-dire que nous avons démontré 

 cette proposition remarquable : 



Les séries %n{x) peuvent nous fournir des exemples d'une série infinie uniformé- 

 ment convei'gente , dont la somme est toujours une fonction holomorphe de x, quoique 

 la série ne puisse jamais être absolument convergente. 



Pour illustrer par un exemple ce fait intéressant révoqué en doute ou même 

 nié par des géomètres distingués, posons: 



^ M _ y^(s+l) (^ + 2 ) .... (5 + n) 



où i) désigne un angle réel non égal à un multiple de 2^; il est bien connu que 

 la série 5n(l) n'est pas absolument convergente. 



§2. Expression intégrale de (^„(x). 

 Revenons maintenant à notre série générale '^n{x), puis posons; 



f„(') = Ao,n + Ai,J+A.,nt'+A3,nt'+...., (2) 



cette série de puissances a évidemment son rayon de convergence égal à l'unité au 

 ') U. DiNi: Grundlagen etc. p. 150. 



