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En effet, considérons, en dehors de ^„(«) et 5n(-i'), les n séries auxiliaires, dont 

 les termes généraux ont les dénominateurs suivants : 



(x-}-s)(a + s-Kl)(a + s + 2) .... (« -f s + /i— l)(«-{-s-f n) 

 (æ + s)(.T + s + l)(« + s + 2) .... (« + .s+„ — l)(« + s + n) 



(a--|-s)(.r-f .s + l)(.iH-s + 2) .... (.r + s+n— l)(a 4 .v-|- n); 



combinons maintenant la première des ces séries auxiliaires avec 5„(.r), puis chacune 

 des autres avec la précédente et enlin la dernière avec5-„(a-), nous avons évidemment 

 toujours à comparer deux séries de cette forme : 



'=Zvt,- ^.=x 



s=0 s=0 



d'où, en soustrayant, 





S = OD 



S — S, = (x — a) • ^ — r — • — i — . (o) 



' ^ ■ a-\-s x-\-s 



5 = 



Posons ensuite 



où .4s, Bs, f et ïj sont des quantités réelles, nous aurons évidemment: 



_1_ _ ç + s-ir; _ ^_ 



où les quantités réelles ç. et ;j^. , pour des valeurs suffisamment grandes de s, satisfont 

 aux inégalités : 



^>^s>^s+i' hs-hil<l'?s|; (^) 



de plus, tous les composants rjs sont du même signe. 

 Cela posé, nous aurons évidemment: 



S-S, = i.v-a).^[AJ^^B^^rj-iA^rj^i-iB^Q; 



s = 



or, remarquons que les deux séries infinies 



s=oc 



s = tx 



B. 



sont convergentes toutes les deux ; les inégalités {ß) montreront clairement, en vertu 

 d'une proposition fondamentale due à Abel^), que les quatre séries infinies 



') U. UiNi: Grundlagen für eine Theorie der Functionen einer reellen veränderlichen Grösse, p. 134. 

 135; Leipzig 1892. 



