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L'ordre du coefficient /!,,,„ est à définir à l'aide des valeurs limites analogues 

 à celles appliquées dans la définition de l'ordre de a„; il est évident que l'ordre de 

 As, n doit toujours être fini. 



Les intégrales définies de la même forme que ®(x), mais dont la fonction 

 génératrice cf{t) satisfait à d'autres conditions, jouent un rôle fondamenlal dans 

 plusieurs mémoires récents de M. Pincheklk ') et de moi ') concernant pour la plu- 

 part la théorie des séries de faclorielles. 



Or, comme il fallait s'y attendre, les recherches suivantes sur la fonction @(.r) 

 nous conduiront à des résultats très intéressants, à la fois au point de vue de la 

 théorie générale des fondions analytiques, par exemple concernant leur développe- 

 ment en séries infinies et leur intégration linie, et au point de vue plus particulier 

 de la théorie de la fonction gamma. 



I. 



Propriétés fondamentales d'une série 5„(.r)- 



§ 1. Convergence uniforme de 5n(-^')- 

 En développant les principes d'une théorie des séries de la forme 



S„(.r) =^ (T+ s){x + s + 1) '; ". . (X + s + n") ' ^^^ 



s = 



où les coefficients As,n sont indépendants de x, et où n désigne un entier fini non 

 négatif, nous avons tout d'abord à démontrer ce théorème fondamental: 



Désignons par 3t l'ensemble de tous les points non infiniment éloignés du plan 

 des X à l'exception des points isolés 0, — 1, — 2, — 3, ..., puis supposons convergente 

 la série tÇ,i(.i-), alors cette série sera uniformément convergente dans tout le domaine ?(,• 

 de plus, la convergence est toujours ou absolue ou non. üans les points susdits exclus 

 la fonction 5"(-i^") « des pôles simples. 



Quant à la démonstration de la convergence uniforme de %n{'f), supposons que 

 5n(«) soit convergente, où « est une quantité finie, puis désignons par .r un autre 

 nombre fini dilTérent de zéro et les négatifs entiers; je dis que la série 3n(-c) sera 

 également convergente. 



') Rendiconti dclla Reale Accadeinia dei Liiicei 1902, p. 139, p. 417; S novembre 1903. Rendiconti 

 delle Reale Accadeinia di Bologna 29 novembre 1903. 



') Comptes rendus 30 décembre 1901 et 20 janvier 1902. Annale.s de I Keole Normale (3), t. 19; 

 1902. Rendiconti délia R. Accademia dei Lincei 17 janvier 1904. Ann. de l'Ec. Norm, (sous presse). 

 Math. Ann. (sous presse). 



