Introduction. 



Dans le présent Mémoire nous aurons à étudier les intégrales définies de la forme 



@(.r) =C(/)/-^-'rf/, 



•'o 



où ^(t), que nous désignons avec Laplace et Abel comme la fonction génératrice de 

 la fonction &{.r), doit être holomorphe aux environs du point f = 0, de sorte que 

 la série de puissances correspondante 



,p{t) = «„+ a/ +«/+ «„''+•••• 

 a son rayon de convergence égal à un au moins. 



Nous désignons constamment par @(.r) une intégrale dont la fonction généra- 

 trice satisfait aux conditions susdites. 



Supposons ensuite que nous ayons des valeurs limites de la forme 



hm -~^= [ , 



II — ce 



selon que a g /, nous désignons Å comme l'ordre dn coefficient o,, ou comme l'indice 

 de la fonction &{.v). Dans ce qui suit nous avons à étudier seulement les fonctions 

 @(x) à indice fini; c'est-à-dire fonctions dont l'indice Å ne dépasse pas une certaine 

 quantité positive et finie. 



Le bul principal de nos recherches suivantes sera de développer les fondions 

 &{x) à indice fini dans une série de cette forme: 



CÇ .,A _ V "' ^^■" 



lSn(^) ^ (a,_Ls)(a;_^S+l) .... (X + S + TJ)' 

 s = 



OÙ les coefficients As.,, doivent èti-e indépendants de x, et où n doit être égal à 

 zéi-o ou à un positif entier déterminé. Dans ce qui suit nous désignons constam- 

 ment par 5"('^") u"^ série convergente de la forme susdite, mais nous écrivons tou- 

 jours (5(-^') au lieu de ^-/x). 



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