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ce qui donnera, en vertu de ,^1,(4) pour la fonction (1) cette équation différentielle ; 



j,.2(l -a-2)zi2i — [2a-{-{l+2v-2a)x-'] x z^» + 



-f [<T (<T + 1) + (/> + 't) i^ + 2. - o) X'] z = 0. (3) 



Appliquons ensuite les formules différentielles § 1,(6), nous obtenons, en vertu 

 de (3), cette autre équation. 



x"- (x'--l) ;/'-) + [(2 + 2ff) .t'' + (2v-2(T-l )] .vy") + 



+ [a (a +1) x-^ + (y> + ,7) (/> + 2. -,7)] y = (4) 



qui admet comme intégrale la fonction 



y = x^-.K^'piy^). (5) 



Nous avons à considérer séparément les trois cas particuliers suivants de nos 

 équations (3) et (4): 



1". a --— — 1 ; nous aurons pour les fonctions 



y = A • K^'/'(x), z = X ■ A'^-"(|,) (6) 



ces deux équations différentielles: 



■ .v(l-æ^)y(^) + (2-f(3-2.)x^)y(i)+(,o-l)(^+l+2.).ry = 0. (7) 



xhx"—\)z^-» + {\^2'Axz('' + [f, — \)(p + \+2ij)z = 0. (8) 



2". a ^ — p\ nous verrons que les équations différentielles 



.T^ (1 - x-'^) If') + (2p - (1 + 2u + 2p) x') xyH) + ^ (^_.i) y _ q (9) 



.v(.r-'-l)zt-) + [(2v + 2/,-l) + (2-2,o).r''']z(i)+^(,«-l)aT = n (10) 



admettent comme intégrales 



y = x~'' ■ K'^'fix), z = .v^' • K'/' /--J. [U) 



3". fT = />-|-2i/; nous trouvons pour les fonctions 



y =. x'' + -''^ . K'-''ix), Z = x-t'-'" ■ K"'''!—] (12) 

 ces équations dilïérentielles: 



x''(l-x'-)y^"-' — {2pA-4v+il-2i.-2p)x'-)x ■ y(i)+ (/,4 2v) (/>+2i;+l) y = (13) 



.v2(.v'^-l)zi'-' + [(2-i-2i; + 2/5).r2— (2i;-f-2,«-hl)]rii)+(/> + 2i;)(/y+2u+l).rr = 0. (11) 



§ 11. Développements de K'^'f (Vl-t iv^). 

 Revenons maintenant à l'équation différentielle .§ 1, (4), nous aurons pour la 



cette équation analogue : 



.-^ • FC^'(KÎT^ ) - ^+^' . FO) (Vï+V' ) + H^+ M_-^ 0^1+ ^1) = . H) 

 1+^- Vl + x- l-|-.r- ^ ■' 



