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posons ensuite y =F(k'l + .r^), nous aurons immédiatement: 



Vî+x^ dy 

 d.v 



F<i'(l/l + a-2) = 



X 



1 +x'' d^ _^ dy 

 'Iv^' ' dx x'' dx ' 



F(2)(i/l-f .r^) 

 d'où, en vertu de (1), cette équation nouvelle: 



.r (1+ .r-) i/C-^) 4- (21/ + (.1 + 21.) .r^) y*" — /){p + 2v) x • (/ = 

 qui admet comme intégrale la fonction 



!/ = A'^-^'(l/ÎT^')- 

 Intégrons maintenant à l'aide de la méthode expliquée dans le S 2 l'équation (3), 

 nous trouvons comme intégrales particulières ces deux séries hypergéométriques: 



(2) 



(3) 

 (4) 





(5) 



où il faut admettre \x\ < 1 ; c'est-à-dire que nous obtenons des identités de cette 

 forme : 



P'-''P{V\^-'x^) = a;/, +by., 1 



■ (()) 



Q-^'P{Vl^x') = a,y,+h,ij,, \ 



où les a et b sont des constantes par rapport à x (jui se déterminent en mettant 

 dans (6) x = et x = + i. 



Or, les développements (6) ne présentant qu'un intérêt assez médiocre, nous 

 ne nous arrêtons pas à la détermination des constantes susdites. 



Au contraire, nous avons à transformer l'équation difl'érentielle (3) en y 

 prenant 1 : x comme variable indépendante. 



A cet etTet, appliquons les formules différentielles § 1, (6), nous aurons cette 

 autre équation: 



.r (l + .v'^) r'2' + (1 — 2i> + (2 - 2v) .r") 2<" - P^P'^^"'' . z = 



qui donnera pour |.v| > 1 ces deux intégrales particulières: 



(7) 



= xf ■ F 



de l'équation (3). 



Cela posé, nous aurons ces deux autres identités 



Cr'''(|/l+a;2) _ az,+ bz^ 



(8) 



(9) 



(10) 



