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or, une étude du point critique .i- = go donnera immédiatement, en vertu de § 8, 

 (1), (2): a = Z»! = 0. Pour déterminer les deux autres coefficients a, et b^ multi- 

 plions par .v~/' et respectivement par .r'"+'-'' les deux formules (9), (10), puis 

 mettons \.v\ = co, nous aurons finalement, en vertu de § 7, (12), (13): 



p^nvî+x^) = i^rn^+p) . f(- p -,-P±\ i_,_, _ 1 \ (ir, 

 (^•^(1/1+^) = ^-SAe+ly )--'-' : . p(p±^, , + |., 1+,+^, _ M. (12, 



^ 2-°+' • r(>/ + o+l) \ 2 ' 2 ' ' ' '^' .rV 



Posons maintenanl dans ces deux formules y = V\-\-x''-, ce qui donnera 

 .t' = y^ — 1, nous aurons, en mettant de nouveau a- au lieu de y, les développe- 

 ments suivants: ^ 



p..,,, 2/'r(.+fl )(:r^-l)f / p _^_p_±\ j_ __1_\ 



^ ^-^ ~ r(.)r(^ + l) l 2' ' 2 ' ^ ' '"' l-.r^j ^ ■' 



2/'+' r(i/+/9-f 1) \ ^2' 2 ' ^^' 1— .vV ^ > 



qui sont valables, pourvu que 1 — .i-^j > 1 ; or, mettons x = ç-\-irj, où ç et ;j sont 

 des quantités réelles, là condition susdite donnera 



(,-2 + ,7^-2(,- — >y^) > 0; (15) 



c'est-à-dire que les séries en question sont convergentes à Vextérieur du lemniscat 



(ç' + //T-2(P-7'0 = 0. (16) 



g 12. Développement de /?"•■"( y + 2^). 



Prenons ensuite dans § 1, (4) y + ^^ comme variable indépendante, un simple 

 calcul donnera ])our les dérivées de la fonction 



des identités de cette forme: 



pm 





2x-2 dy 



X- — 1 dx 



Fm(-'- a. L^ = / ^^V. diu 8x^_ dy 



\ 2 ' '2x) \x-'~l) clx^- (x^-iy ' dx ' 



d'où il résulte pour la fonction 



cette équation différentielle: 



.rMl--v')î/<'=»-((2u-l).v-f(2.+l).r'')yO)-^(^-f2.)(l-.r'=)y = (2) 



I) K I). Vidoiisk. Selsk. Ski-., 7 H:i.kki-, iiiiliiiviilcnsk. ii); niiithem. Alil. II. ."i. • 35 



