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A cet efTel, appliquons 1 identité évidente 



K'''P(^~^^\ = K'-'P (~~ 1^ . 



nous aurons tout d'abord à mettre dans l'équation différentielle § 1, (4) 

 lieu de x, ce qui donnera immédiatement pour la fonction 



cette équation différentielle analogue 



1 au 



x-{l-x)ij^"-^ + 



(l-2v).v+(v--|).r^ 



ij'-^'-f>ifj + 2'.)ij = 0. 



(1) 



Posons ensuite dans (Il y = x '' ■ z , nous verrons que cette équation 

 ditïérentielle 



X[\-X)Z^> + 



admet comme intégrale la l'onction 



1 _. 2. - 2f, + (v + -V- I ) .v] r'i' - ,. (,o + . - .1 j - = Ü (2J 



(3) 



d'où, en mettant x"- -\- 1 au lieu de .r, pour la fonction 



[/=U- + l)^'A--^"(i^;), (4) 



cette équation différentielle: 



a- (1 + x-") U^-^i 4- [2v - (4f> + 2', —1) x^] f/^i' + 2p {2p + 2v - 1) ,v U = 0. (5) 



Cela posé, la méthode ordinaire donnera ces deux intégrales particulières de (5): 



1 ,1 „\ ^gj 



(7) 

 (8) 



„ = .(■ 



-f,— V-\- ^ , V 



d'où il résulte des identités de la forme 



— X' 



2., ^-K 



, -•»-•"-), 





Pour déterminer maintenant les quatre coefficients qui figurent dans (8), (9) 

 mettons tout d'abord x = 0, nous aurons immédiatement, en vertu de § 7, (4) (5) 

 et en supposant pour un instant 9î (v) < ^ : 



/^(/> + 2t/)sin.T(/? + 2i/) 



2r(2v) r(^+l)cosi/s- sin TT (i/+/>) 



2r{p + \) 



(10) 



(11) 



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