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d'où il li'siille des idenlilés de la forme: 



P^'/'O/l-a-) = aij, i-bij, (6) 



Pour déleniiiner les quatre coeflicients (jui (igurenl dans ((î), (~), niellons 

 d'abord x = Ü, nous aurons, en supposant pour un inslanl 3i(!/)< „, 



a = p--"''{i), b = cr-'Hi), (8) 



tandis (jue l'hypollièse x = 1 donnera de même 



i/.-4+f) , , 



P^^piO) 



ir'P(0) = a, 



4 + |)v^ 



K 



/1i + f)r(^-^-v) 



0») 



ce (jui nous conduira immédiatement au but si nous appliquons les formules S 7, 

 (4), (5) el § 8, (21), (22). 



Dans le cas particulier où fi est égal à un entier non négatif, nous aurons b = Ü. 



Prenons encore |)our point de départ l'écpiation différentielle S 10, (7), puis 

 appliquons les formules différentielles (2), nous verrons que celte équation diffé- 

 rentielle 



4.1' (1 - .r) y'2) 4- (2 4- 4u - (.8 -t- 4u)a-) y"' + (,o — 1) (/> + 2i> + 1) y = Ü ( 10) 



admet comme intégrale particulière la fonction 



y = (1— .v)~' • K'^'P^Vl^^). (11) 



Or, la méthode ordinaire donnant comme intégrales particulières de (10) les 

 deux séries hypergéométriques 



y, = .v^-" . f(i + | , l-u- 



il résulte des idenlilés de celle forme: 



(1 — a)-i ■ P-''{VV-X) = aij, + bii„ J,12) 



(l-a)-5 . (r'/'O/rZTx.) = aiy, + fc,y, , (13) 



d'où en mettant x = et en supposant pour un instant 9î(v) < j: 



a = P'''P{\}, a, = (>""" (1)- (14) 



Quant à la détermination des deux autres coefficients b et b^ , nous faisons 



tourner autour du point x = la variable x, ce qui nous conduira au but à l'aide 



des formules du ,§ 8; or, une telle détermination générale des coefficients susdits 



ne présente qu'iui intérêt médiocre. 



Nous nous bornerons à reniarc[uer en passant cpie le cas particulier, où p 

 est égal à un positif entier impair donnera b ^ 0. 



■'■) 



P_ 

 2 ' 



■■■) 



