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§ 15. Développement de (i+.i-") " 2 . AT"''! y=^== J. 



Nous avons encore à éludier une autre transforma lion cie l'argument d'une 

 l'onclion mélasphéricjue en développant la l'onction 





(1) 



A cet eflel, introduisons dans S lU, (13) la variable indépendante (1 | .v'^) '■< , 

 [)uis mettons: 



il résulte pour la l'onction (1) cette équation différentielle: 





l—2p—2/j\ ^ \Vl+x- 



+ {p + 2,){p-^2,^l)F(^^À=] = Ü. 



VKl-r^v 

 Cela posé, les formules différentielles 



;.„Y _^ \ =. (l+g--^) ! dg 

 \Vl+.v^J X dx 



Frø [ _L„\ _ (l+a;y . cPj/ _ U+æy(l-2x-0 _ c/y 



+ 



12) 



(3) 



donneront pour la fonction (1), considérée comme fonction de l'argument .v, cette 

 écjuation ditïérentielle: 



.r(l + a.-2)yß)+(2u + (2+4i.+2//).i-)y<i' + (;0 + 2i/)(^ + 2u + l).v;/ = (4) 



qui est très semblable à § 10, (14). 



En effet, mettons dans cette dernière équation ix au lieu de .v, /> + ^+| au 

 lieu de v et — o — 1 au lieu de p, nous retrouvons précisément notre équation (4), 

 ce qui donnera des identités de la forme 



li/i+x«; 



- C^T '•(-''• ''^'""^'' "'" (.w) +^' • ^"""'' '"-' (.w)) 



(5) 



. (6) 



