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n ! / (u) vn 

 d'où, à l'aide de cette identité différentielle, 



DJ^" + ^Q'''"(.r) = (-1)-" + ' • 0'' + 2" + i-«-i(^)> 

 tirée directement de S 6, (10): 



2 an +2 . r(2y + /j) . COSl/TT 



(6) 



p^. " Cl-) = 



• Ar-" + ' (>-»'--'"• «(.r), 



;i! r(v)l/;r • (æ'^— 1)"-* 

 formule dont il est très facile d'établir l'inversion. 



A cette effet, prenons pour point de départ cette intégrale définie: 



(7) 



•h 



oîi le chemin d'intégration est la partie correspondante de l'axe des nombres 

 réels, tandis qu'il faut admettre 'iR{v) > 0; des intégrations par parties donnent 

 immédiatement: 



/ = 



(-l)«(2n)! 



U/-.r5-l)-''-n-J-(/-l)"(//, 



d'où, en vertu de (1) et la formule intégrale § 7, (7), cette nouvelle expression 

 intégrale : _ 



^ ^' 9!2n + l . „I ni ^n_L,._L9.,^ I 



t' ''' 



. \ p ->' -^n, n (^t X) (t" X~ -l)-'-'-^'^-i • (t-l)--' (I t 



•h 

 qui est précisément l'inversion de (7). 



§ 22. Sur l'intégrale définie \ P^" (.*■) P''-'-{:r) (1 — ,r')^-i 



dx. 



La formule différentielle i^ 21, (1) nous permet de déduire une formule inté- 

 grale très intéressante et fondamentale dans les recherches qui nous occupent ici. 

 A cet effet, prenons pour point de départ l'intégrale définie 





(1) 



puis intégrons n fois par parties, nous aurons immédiatement la formule fonda- 

 mentale susdite, savoir : 



Çiix)P^-Hx)(l-xr-^clx ^ ' ;;f }r + %!, ~^,f ■ S7"" (x) d-^-) -^-^^.r , (2) 



1). K I). VidcnsU. Sel.sl< SUr . 7. H:i-Ukc., ii;iliuvi(lpnsk, ni; m:ilhcni. Aid. II. 



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