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oil il laut admeltre à la fois 



mip + 2u) > 0, 5K(.r) > 1; 



dans le cas particulier où 3Î (æ) ^ 1 il faul supposer encore que ':)i{^) < ^. 



2". Posons dans l'équation différentielle §1,(4) 1 — 1> au lieu de v el — p — 1 

 au lieu de p, puis meltons dans l'équation ainsi obtenue 



nous aurons pour y précisément l'équation différentielle de la fonction méta- 

 sphérique au paramètre v et à l'indice p, d'où cet autre théorème général: 



Désignons par K'-'-P{x) une fonction métasphériquc de l'argument x, du para- 

 métre u et de l'indice p, nous aurons: 



K'-"- -P~\x) = (1 — x-n''-Ma-P''"°(x) + b-0''"°(xj), W 



où a et h désignent des fonctions convenables de v et p. 



Considérons par exemple les deux fonctions P et (>, le même procédé que 

 dans 1° donnera ces deux autres formules fondamentales. 



^ ' ^' l/7rr(l— !/) r(,o+2!.)sin;r(,.>+v) "^ ' ^ > 



d'où, en combinant les deux groupes de formules (4) et (5j, (9j et (lu), ces deux 

 identités singulières: 



pi-v, p~l+■iv.y.^ 2-" ' r(i+/>) rfv) . ■ nv-^ .p^-pir\ riit 



Qr-.,p-i + -z,^^^ ^ ^'~'' ^^\\ P^ . (x'-l)'^-'^ . Q'^-P(X). (12) 



/ {p + 2v) 



Pour v= 2 ces deux formules se réduisent à des identités formelles. 



3°. Dilïérentions enfin par rapport à æ l'équation différentielle obtenue pour 



K!'-'^' P+^(x), nous retrouvons pour D^Ä^"""^' -"+' (.x) précisément l'équation ,^1,(4); 

 remarquons ensuite que les définitions § 2, (11), (12) donnent immédiatemenfces 

 deux formules particulières: 



n:,P'-'' P + 'ix) = (2i; — 2)-P''""(x) (13) 



Ü^Q'^-^'P + ^ix) = -1. y^./'(a;); (14) 



nous aurons ce troisième théorème général : 



La dérivée D^K^^^' P < ^ (x) est une fonction métasphérique du paramètre u et 

 de l'indice p. 



Appliquons maintenanl l'équalion differentielle § 1, (5), nous aurons, en vertu 

 de (13), (14), ces deux autres formules: 



