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Dx[(l--a;2)'' + -P'' + ''/'-'(.r)J = - Æ1Æ_L?^\ l _ x^) ^ - i .p'-'./'(a-) (15) 



Ox[(l — x-'^)''+^--Cr+''/'^'(æ)] = 2p{p + 2'.){l-x'y-'^ ■ Q'''P{x): (16) 



meltons ensuite dans (15), (16) i^+l au lieu de u el p — 1 au lieu de p, puis 

 diirérenlions par iappt)rl à æ et ainsi de suile, la conclusion ordinaire de /; — 1 

 à p donnera les formules plus générales: 



2" r(p-p+i) r(y+p) r{pi-2,) (i-^^)^-^ 



n" [(i-..^)>+.-^ . o>+/',.-P (^)] = 2^^(£+lmHI2^p) . _Q!:^i£L d«) 



^ r{p+2u)np-p+i) (i-^^)-i-'' 



où /j désigne un posilil' entier. 



Il est évident que les formules (17), (18) se présentent sous celle autre 

 forme aussi: 



^:r{p^\)r{p+2v-p)r{v) ' [i-x^y-'- 



Q^^p(^) = ^" /Xfl+p +!)/"(/>+ 2v) />:^'[(i-.y')-+''- '-Q-P '^+n^O] ^2,)) 



r(^+2>.-jo)r(^4-ir* (i-a;^)"-* " 



où il faut déterminer convenablement les constantes d'intégration. 



S 6. Autres propriétés fondamentales de /?"""(*■). 



Il nous semble utile de réunir dans un paragraphe particulier les formules 

 fondamentales qui contiennent des fonctions métasphériques aux paramètres v et 

 y + 1 et aux indices p et ^o ^ 1. 



Étudions d'abord la variation de l'indice, nous aurons en premier lieu ces 

 trois formules du § 1 : 



(\-œ^)D^K''r>{a') = (p^2^j) xK'^f [x)-~ [p + \)K''^P+' [oc) (1) 



(1— .«^)ArA"'"''(.*0 = -pæK^-P{æ)^{p-\-2v~\)K'^P~''{x) (2) 



2(p^v)æK''^P{æ) = [p + Y] K'-f>+' (x) + (p^2v -\) K'^P-^x). (3) 



Différentions maintenant par rapport à x la formule (1), puis éliminons, à 

 l'aide de S K(4), la fonction DIk^-p {x), un simple calcul donnera celle nouvelle 

 formule fondamentale: 



(p + 2i/) K^^P \x) = D.Ï A' "' ''+' [x) - X D.,. K "' -" (.v). (4) 



Différentions ensuite par rapport à x la formule (^}, puis éliminons, à l'aide 

 de (4), la fonction D^^K^'Pix), il résulte: 



2ip + V) K "• P [X) = ü^ K "■ P+' (x) — L»x A "• P-' {x) , (5) 



