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d'où, en éliminant, à l'aide de (4), la fonction K'''f(x), cette autre formule: 



2 {fj + !/) X DrK'^P (x) = pD.K"' P+' {x) + {p + 2u) D^ K "■ P-' (x). (6j 



Multiplions enfin par 2 les doux membres de (4), il résulte, en vertu de (5) 

 2vK'^P {X) = D^K''P+' (x) -2xD:rK''P{ x) + D^ K "' P-' (x) , (7) 



tandis qu'une soustraction des deux formules (4) et (5) donnera immédiatement: 



pK''-P( x) ^- X D^ K "• P ix) — n^ K "' /^-i (x). (8) 



Il est digne de remarque que les 8 formules que nous venons de développer 

 sont applicables à une fonction métasphérique quelconque, ce qui n'a pas lieu pour 

 les formules analogues concernant la variation du paramètre y. 



En effet, dans le S 5 nous avons déduit ces deux formules, formellement 

 différentes: 



D^P^^Pix) = 2u . P''+''P--'(x) (9) 



D.Q''P(x) = -1 . Q-+'-P-\x). (10) 



Combinons maintenant la formule (9) avec (5), (7), (8), nous aurons respective- 

 ment : 



(/> + i.)P''""(.v) = y(P'' + i'/'Oi.-) —P " + !'/' -8 (x)) (11) 



P'''P(x) = P''+'^P{x) — 2xP'-'+''P~'(x) + P''+''P-^{x} (12) 



(^+l)P'''''(x) = 2i/(xP'' + ''^(x) - P'+''P-'(x)) (13) 



tandis que la formule (10) donnera de la même manière ces formules analogues: 



iip + ^)Q'''P{x) = Q''+''P-'(x)-Q''^''P{x) (14) 



-4:^0 "'Pix) = Q''+'''P{x) — 2xQ'+''P-'{x) + Q''+''P—^(x) (15) 



{p+l)Q''^P(x} = Q'^'-P-^ix^-xO'-^'^Pix). (16) 



§7. Les valeurs numériques P''""(4:l) et ©"""(±1). 



Pour étudier les deux points critiques x = ^^1 d'une fonction métasphérique 

 nous avons tout d'abord à considérer les valeurs numériques P'''''(^l) et 



0^'^(±i)- 



A cet effet, prenons pour point de départ la formule de Gauss: 



F(a,ß,r,i) = {^|^!rf{7(p^j > 5R(r-«-/9) > 0, (1) 



il résulte, en vertu de § 2, (11), (12), ces deux expressions: 



ri.)rip+i) rli-.-IJrlV-^ 



