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OU bien, en appliquant des formules fondamentales très connues concernant la 

 fonction gamma ; 



* ' 2r(2v) r(/>+l)cosy7rsin;r(^ + u) ' ' 



r(/, + 2.)r({-.) 



formules gui sont valables, pourvu que 9î(i/) < — . 



Dans les quatre dernières formules que nous venons de développer nous avons 

 posé 1 = 6"; mettons ensuite dans §2, (11), (12) — l = e±'^', nous aurons respec- 

 tivement : 



P'-'./»(_l) = e^P""' ■ P''-P(x), Q'''P{—\) = e + ('° + ^'')'^' • Q^^Pil). (6) 



Quant à la portée des formules numériques ainsi obtenues, supposons |a;j > 1, 

 puis faisons converger æ à + 1 en suivant un chemin situé à l'extérieur du cercle 

 |x| = 1 et n'étant pas tangent au cercle susdit dans les points .v = il» '^ théorème 

 d'ABEL montre que les formules en question sont vraies dans ce cas. 



Appliquons maintenant la formule intégrale très connue 

 l'i 



dl 



r(.+^ + i)r(v+/>-fy) 



qui est valable, pourvu que |x| < 1, 3î(jo)> -1, '^(p^2v) >0, puis mettons dans 

 cette formule 1 : a- au lieu de a; et 1 : f au lieu de /, il résulte cette autre formule 

 intégrale; 



Q^-P[x) = 2^^ + ^ -'-rl^ + . + l). ^^_'^.^{t'x^-\)-''-P-Ut-\)Pdt, (7) 



qui est applicable pourvu que 5R (/j) > — 1, 'Si{p^2v) > 0, tandis que x ne doit 

 pas être égal à une quantité réelle, telle que — 1 < .v < ~j- 1 ; dans ce cas il faut 

 admettre encore 5K(i/-^7))< \, tandis que l'hypothèse a- = + 1 exige 3ï(w) < \- 



Cela posé, l'invariant S 5, (2) donnera la proposition suivante, essentielle pour 

 ce qui suit: 



Supposons 3f{(i/)< 1^, les cinq formules de (2) à (6) sont valables si nous faisons 

 converifer, d'une façon quelconque (sans entourer les points critiques), la variable x 

 aux points x = ^l. 



Or, ce résultat connu, il est très facile de démontrer cet autre théorème 

 concernant la force d'infinité des deux points critiques susdits: 



