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Supposons 5R (y) > — V, tandis que n désigne une quantité positive plus petite 

 que l'unité, les deux fonctions 



(1— .1'-)" + ''-^ • P^'^^Lr), (l — x")'-^"-'^ • Q'^^fix) (8) 



deviendront égales à zéro si nous faisons converger, d'une façon quelconque, la 

 variable x cni.v points critiques x = ^l. 



Dans le cas particulier où tt > 'S^i'^) > — i, notre théorème susdit est une 

 conséquence immédiate des formules (4), (5) et (6). Posons ensuite dans S 5, (17), 

 (18) i> — p au lieu de p et p^p au lieu de p, nous aurons: 



(1 — .v^)^ . nP^[{\—x-y-'iP'''P{x)] = A • (1— .i'2)''--5 . P'-'-i>'f'+''[x) (9) 



(1-xV- ü'^[(\-x'')'--iQ''-f'{.v)] = Al- (l-.r^)^-^ . Q'-'-"'f' + P(,r), (10) 



où A et A, sont des constantes par rapport à x, tandis que p est un positif entier 

 quelconque. 



Supposons maintenant jo + i > 9î (v) > — ' , nous savons que les seconds 

 membres de (9) et (10) possèdent la propriété susdite, de sorte qu'un théorème 

 fondamental très connue') nous conduira immédiatement au but. 



Il est évident que le théorème que nous venons de démontrer peut être donné 

 aussi sous cette autre forme : 



Supposons que la fonction f{x) soit intég rable de .r- = — 1 à a- = -|- 1 et que les 

 valeurs numéri(iues /'(+1) soient finies (ou inpniment grandes d'un ordre infiniment 

 petit), les deux intégrales définis 



\ f{x} P^'f (x) (l-,r-) "- i dx , \ f(x) Q ^■." (a-) (l-.r'-) ^~ ^ dx (11) 



«'—1 t'— 1 



ont un sens, pourvu que 9{(i/) > — y. 



Mentionnons encore ici que les définitions mêmes des fonctions P el Q donnent 

 immédiatement ces deux valeurs limites: 



lim Ix-/' •P'''/'(.T)) = 2'°r(i/ + ;o) (12) 



i^f = oo r{v)r{p+i) 



lim {xr + -^> -Q^-rix)) = - V^ rip + 2u) _ 



§ 8. Nature analytique des trois points critiques :<= + l et ,c = co. 



Pour étudier la nature analytique des trois points criti(|ues d'une fonction meta- 

 splîérique nous avons tout d'abord à introduire quelques significations commodes. 



A cet effet, supposons que x = a soit un point critique isolé de la fonction 

 f{x), nous désignons par '^(a)f(x) et '^{a) f{x) ce que deviendra la fonction ftx) 



') U. Dim: GriiiulhiH'en für eine Theorie der KiiiiUtioncii einer reellen veriinderliclien Griisse, p. 104. 

 Leipzig 1S'J2. 



II. K. 11. Viili-iisli. S.-lsk. Ski-., 7. lia'klu-. nülvirviileiisk. iiii iii;illu-iii. Al'cl II. :, 



