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si nous faisons tourner une seule fois, respectivement dans le sens direct et dans 

 le sens indirect, la variable a- autour du point critique .v = a. 



Ces significations adoptées, il est très facile d'étudier la singularité du point 

 criticjue .x' = ce. 



En effet, prenons pour point de départ les définitions S 2, (11), (12), nous 

 aurons immédiatement; 

 '^{oo)P'-'-P(x) = e-'f""' ■ P'-'"(x), î)(oc)Q'''^'(.r) == e(ä/"+4i')-/ .(^''^"(.r) (l) 

 5 (oo ) P'' !' ix) = e-/"^ '■ • P^' -" (X) , S (00 ) ()"' '' (-v) = e - <-/" + '"' "' • Q '■'• '' (x). (2) 



Quant aux deux autres points critiques a- = ^^l, supposons dabord \x\ < 1, 

 nous aurons, en vertu des formules du J^ 2, des identités de cette forme: 



F "'Pix) = A • y, + Bx ■ ;/, (3) 



Q>''P{x) = A,-y,+n,x ■ y,, (4) 



où nous avons posé pour abréger: 



y, =F(-f, .+|, |, a-) (5) 



tandis que les quatre coefficients A et ß sont indépendants de x. 



Pour déterminer maintenant les quatre coefficients susdits, mettons dans (3), (4) 

 .1 = 1= e" et .X' = — 1 = e — ^', nous aurons deux systèmes de valeurs difîérentes 

 pour A, ß, Al et /il . 



Posons pour abréger: 



Vtt' r(u + I) _ r(u + f ) cos f sin ;r ( . + f ) 



2-^-^^r(|-+l) ' ' r(.)r(l+|]sin;r(.f,o) 



^ ^ l/.-4+^'î ') , ^ 24 + ^±l)sinfcos.(.+ ^J 



2^-^>r(C±l) ' ' rWr(l±^) sin ;r (.+/,) ' 



puis désignons par Pi et Q, les valeurs obtenues pour P et (J en allant du point 

 7', situé à l'extérieur du cercle .x^i = 1, au point U situé en l'intérieur du cercle 

 susdit, en suivant un chemin continu TVU qui n'entoure aucun des points 

 critiques x* = + 1 et .v = oo . Nous déterminons le chemin, inconnu pour l'instant, 

 TVU de sorte que les valeurs fonctionnelles P^ et Q^ correspondent à l'hypothèse 

 x= — l = e + '^', ce qui donnera 



6^+ 2)'" . Ql'-Pix) = a;/i — ibxi)„ (7) 



e-^- P^''P{x) = a,,/, - ib,xii„_. (8) 



Désignons ensuite par P., et Q., les valeurs de P et Q obtenues si nous allons 

 de T à [/ en suivant un chemin continu TZU, tel (|ue le chemin fermé el continu 



