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TVUZT entoure une seul fois le point critique x^-\-l, les valeurs P., et Qo corres- 

 pondent à l'hypothèse x- = — 1 = e-~', de sorte que nous obtenons ces deux autres 

 formules: / i /"\ • 



e~V ' 'î/'" . Q,^^P(x) = ay, +ibxy„ (9) 



e'^ . P^^'fix) ^ a,y,+ib,xy,,. (10) 



Cela posé, il est évident que les deux groupes de formules que nous venons 

 de développer nous donnent le prolongement analytique de P et Q, pourvu que 

 \x\ < 1, mais inversement de i/j et y^ et par conséquent aussi pour M et N dans 

 le cas où |.r| > 1. 



Prenons ensuite pour point de départ les deux formules (9) et (10), puis 

 faisons parcourir le chemin UZ'F à la variable x, les deux valeurs fonctionnelles 

 Pa et Qj deviendront précisément P et Q, tandis que nous obtenons pour y, et y, 

 les valeurs F, et Y^ qui s'expriment comme fonctions linéaires et homogènes de 

 P et Q, à l'aide des équations ainsi obtenues de (9) et (10); nous aurons: 



Ü ■ y, = b,Q-bP (11) 



D ■ ix\\ = ~a,Q+aP , (12) 



où nous avons posé pour abréger 



D = ab, —a,b. (13) 



Revenons maintenant aux équations (7), (8), puis faisons-y parcourir le 

 chemin UZT à la variable .i-, ce (jui donnera pour P, et Q, les fonctions P et Q 

 soumises à une seule des opérations 3) (+ 1) ou 3(-|-l), tandis que y, et y., 

 deviendront respectivement y, et ^2. Désignons par (P) et (Q) les valeurs fonc- 

 tionnelles obtenues de P, et Q,, il résulte, en vertu de (11), (12), deux identités 

 de cette forme : 



D ■ (Q) = (afoi + o,ft)e-<^^''')"' •Q—2abe-'"'' ■ P (15) 



û . (P) = —(ab,-^a,b)ei"'' • P+2a^b, e-'^'i-Q. (16) 



Cela posé, introduisons dans le déterminant ,^ 3, (10) les expressions (15), (16), 



nous aurons: 



( C>) = S (+ 1) Q , (P) = S (+ 1) P ; 



c'est-à-dire que lu chemin fermé TVUZT entoure dans le sens direct le point 

 critique x =^ ~\-l, ce qui donnera finalement: 





sm V 71 



2)(+l)P'''/'(.r) = 



= ieP'-^i .P'''P (x) - si"' ^/" • sm7r{p + 2v)e-'"'' _ ^^, ^, \ _ %va. n {v -\- p) 

 \ 2 ^ "- ik';!:/'(i')sin2 TT (v-f^) " / sinuyr 



34' 



(17) 



(18) 



