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Pour eiïecluer l'opéralion S(+l) nous avons seiilemenl à changer dans (17), 

 (18) le signe de /, ce qui s'ensuil immédiatemenl des deux groupes de formules 

 (7), (8) el (9), (10). 



Quant au troisième point critique .v = — 1, nous aurons: 



® (_ 1) Q ^ /' (a-) = 3 ( 00 ) S (+ 1) (r- !' (X) 



s (-1) Q"^'' {X) = 5D ( 00) s (+ 1) Q-^^r (.r) 



el deux formules anafogues pour P^'f[x), d'où, en vertu de (1), (2) et (17), (18), 

 ces deux autres formules; 



S)(_l)(>^,/'(.v) = j 



^ ^ ' ^ sm i>;r ) 



®(_l)P^/'(a-) = j 



\ 2ä''-H'- r(i/)sin=;r(v-i-^;) ' " / sini/7r ' 



tandis que l'opération 3 ( — 1) nous conduira à des expressions obtenues des 

 seconds membres de (19), (20) en y changeant le signe de i. 



Il est évident que les formules que nous venons de développer dans les para- 

 graphes 7 et 8 nous donnent la connaissance parfaite d'une fonction métasphérique 

 considérée comme fonction de l'argument x. 



Mettons encore dans (7), (8) ou dans (9), (10) .r = 0, nous aurons ces autres 

 valeurs numériques 



riv +4) COS— sin ;r(i/ + 4) /'"' 



r{,) r(ii-^) sin TT (u+p) 



Q.riO) = -r^^ e-<'^'' + M^+-J-, (22) 



r(i + f) 



oil p désigne un nombre entier quelconque. 



Supposons i> = 2 ^^ />==") où n désigne un nombre entier, le point .v = oo 

 n'est pas un point de ramification de la fonction métasphéri([ue correspondante. 

 Dans ce cas particulier Heine') fait uniforme la fonction (j a l'aide d'une coupure 

 de +1 fi — 1) procédé qui n'est pas légitime comme l'a remarqué Stieltjes^). 



>) Handbuch der KugelfLiiiUtioncn, t. 1, p. 126; Berlin 1878. 

 2) Annales de Toulouse, t. 4; 1890. 



