21 



259 



§ 'J. Les fonctions adjointes P^ (æ) et Q^'''{æ). 



Dans plusieurs applications des fonctions métaspliériques nous avons besoin 

 des fonctions métasphériques adjointes, savoir les fonctions 



p^i^) 



11"-" • r{p+v) 



(x^-l) - • P- 



a, p — a 



{X) 



(.r-^-1)- . (^" + "'^'-''(0;) 



ou bien sous la forme des séries hypergéométriques 



P-^'ix) = .■"-" . (x--l)^ . f[^, ^=|±1, i_^,_,, i_) 



(1) 



(2) 



(3) 



Q„ (x) = X 



Or, les définitions (1), (2) adoptées, nous obtenons immédiatement, en vertu 

 des formules invariantes §5, (11), (12), ces deux identités analogues, mais beaucoup 

 plus simples 



(5) 



p's:'''^'^''{x) = {x^-iy-' . py{x) 



Ql:^'^"-'+'Ux)^(x^-ir-^ .q:^''{x). 



(6) 



formules qui se présentent sous une forme très élégante dans le cas particuliers 



Il est évident que nos deux fonctions adjointes doivent satisfaire à une 

 équation différentielle linéaire et homogène du second ordre. 



En effet, mettons dans § 1, (4) i/ + <t et ^ — a au lieu de u et p, il résulte 



^l^x'Z) yCi) - (l-^2, + 2a) xy'^^ + {p-c)ip + a-\-2,) y = 0, 

 d'où, en posant a 



y = {x'-iy . z 



et après un simple calcul l'équation différentielle cherchée 



<7(ff + 2v — 1) 



(1 - X-) z(-' — (1+ 2v) æz(i) + 



p (p + 2'.) - 



1 



z = Ü 



(7) 



qui admet comme intégrales particulières les deux fonctions adjointes P„ et Q„. 



Dans les deux cas particuliers a = et a =^ 1 — 2v, notre équation (7) deviendra 

 identique à § 1, (4), ce qui s'accorde bien pour «7 = avec les définitions (1), (2) 

 elles-mêmes, et pour a ^1 — 2v, avec les formules invariantes §5, (11), (12). 



Quant aux déterminants fonctionnels 



p^ix) D.py(x)' 



àyix) = 



Qy{x) d.q:'P{:x) 



