Introduction. 



Lia théorie des fonctions sphériques présente dans son développement historique 

 de nombreuses analogies avec celle des fonctions cylindriques. 



En effet, l'introduction même de ces deux groupes de fonctions dans l'Analyse 

 était déjà entièrement analogue, c'est-à-dire que des cas particuliers de ces deux 

 catégories de fonctions se sont présentés comme coefficients dans des développe- 

 ments essentiels en Astronomie théorique et en Mécanique analytique. 



Or, une telle introduction non analytique des fonctions susdites, ne pénétrant 

 pas jusqu'aux propriétés fondamentales, a été fatale au développement d'une théorie 

 systématique et générale de ces sortes de fonctions, et cela pendant une centaine 

 d'années environ. 



En effet, Legendre ') a introduit, pour étudier l'attraction des sphéroïdes, la 

 fonction sphérique ordinaire de première espèce, souvent nommée polynôme de 

 Legendre, savoir notre fonction Pi-"(x), n désignant un positif entier. La distribu- 

 tion de la chaleur ou de l'électricité dans un anneau a conduit C. Neumann'-) à la 

 fonction anulaire, savoir notre fonction P'-n+Mx), n désignant un entier non négatif, 

 tandis que F.-G. Mehler'*) a introduit la fonction conique, savoir notre fonction 

 pi' -i + i''{x), u étant une quantité finie quelconque. 



Cependant il a été nécessaire d'introduire les trois fonctions complémentaires, 

 savoir les fonctions Q'''f'{x) correspondantes et encore les six fonctions adjointes. 



Or, toutes les fonctions ainsi obtenues possédant un grand nombre de pro- 

 priétés communes, il a été nécessaire de développer six ou bien douze f ois de 

 telles propriétés. 



On voit que l'histoire des fonctions cylindriques présente une phase analogue, 

 parce qu'il a été nécessaire de développer la plupart des propriétés de J''{x) encore 

 une fois pour la fonction de seconde espèce y"(x). 



Dans mon Traité des fonctions cylindriques*) j'ai développé une théorie systé- 

 matique de ces transcendantes, ce qui nous épargne le double développement sus- 



') Mém. prés, à l'Acad. par divers savants t. 10; Paris 1785. 



-) Theorie der Elektrizitäts- und Wärmeverteilung in einem Ringe; Halle 1864. 



3) Journal für Matliematik. t. 68, p. 154; 1868. 



*) Handbucli der Theorie der Zylinderfunktionen; Leipzig. Teubner, 1904. 



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