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(lit; j'ai pris pour point de départ deux équations fonctionnelles qui définissent 

 complètement les fonctions en question. 



Or, l'analogie analytique entre les fonctions sphériques et cylindriques (le 

 dernier de ces groupes de fonctions peut être considéré comme des valeurs limites 

 du premier) engage beaucoup à essayer de développer une théorie analogue des 

 fonctions sphériques. 



Dans deux Notes que l'Académie des Sciences de France m'a fait l'honneur de 

 publier dans ses Comptes rendus^) j'ai indiqué les fondements d'une telle théorie 

 systématique. 



Dans le présent Mémoire je commence par développer plus amplement les 

 idées indiquées dans les Notes susdites, puis j'étudie assez en détail les propriétés 

 fondamentales des fonctions ainsi obtenues: je les appelle fonctions métasphériqiies, 

 désignation qui résulte des remarques critiques de mon ami M. A. Wangekin '), 

 de Halle. 



L'avantage de cette méthode saute aux yeux. 



En effet, dans le § 5 je démontre qu'il suffit d'étudier une seule fonction 

 métasphérique, savoir la fonction Q'^'Pix). Cette fonction générale, qui donne 

 comme des cas particuliers les fonctions sphériques, annulaires et coniques, possède 

 cependant un grand nombre des propriétés connues de ces fonctions particulières. 



Or, les propriétés de 0''""(.r) étant trouvées, on en déduit les propriétés cor- 

 respondantes des fonctions susdites plus particulières en cherchant simplement la 

 vraie valeur des expressions indéterminées, précisément comme je lai fait pour 

 ^"(x) dans mon Traité signalé ci-dessus. 



Les deux premiers chapitres du présent Mémoire sont consacrés à l'étude de 

 Q^'P{x); dans le troisième chapitre je considère le cas particulier où p est égal à 

 un entier non négatif. Un grand nombre des résultats particuliers ainsi obtenus 

 sont connus, mais déduits d'une manière moins sysfcmaticjue et moins générale. 



Dans le quatrième et dernier chapitre j'étudie les séries neumanniennes de 

 fonctions P^'"(x), séries que j'ai applicpiées dans deux Mémoires dont le premier 

 vient de paraître tandis que le dernier paraîtra dans les Annaes scienti/icos da Aca- 

 demia Polytechnica do Porto. 



Du reste, je me réserve de revenir, dans des recherches ultérieures, aux fonc- 

 tions que je viens d'introduire ici. 



') 30 mai et 20 juin 1904. 



-) Encyklopädie der Matheniatisclicii Wissenscliaften, t. 11, p. 732; 19U4. 



Copenhague, le 7 octobie 1905. 



Niels Nielsen. 



