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CHAPITRE I. 



Propriétés fondamentales des fonctions métasphériques. 



§ 1. Définitions générales de K'''P{x). 



Nous désignons comme fonction tnétasphérique de l'argument x, du para- 

 mètre 1/ et de l'indice p, une fonction K^'Pix) qui est assujettie à satisfaire à ces 

 deux équations fonctionnelles 



{\-x''-)D^K-'^P{x) = {p + 2v)xK-'^P{x) — {p+\)K-''i' + '{x), (1) 



2{p + v)xK-^-P(x) = {p+\)K'^^P+'(x) + (p + 2<.-\)K'^P-\x), (2) 



mais qui est du reste aussi arbitraire que ces conditions le permettent. 

 Ajoutons maintenant les deux formules (1), (2), nous obtenons: 



{\—x')D^K''^P{x)= -pxK''P{x) + {p + 2',-\)K''-P'-\x), (3) 



équation qui peut remplacer une des formules originelles (1) ou (2) dans la défini- 

 tion de K^^Pix). 



Pour résoudre les équations fonctionnelles susdites, cherchons tout d'abord les 

 solutions qui sont des fonctions analytiques de l'argument x. A cet effet, différentions 

 par rapport à x l'équation (1), puis éliminons, entre (1) et la formule ainsi obtenue, 

 les deux fonctions K'''-P^^{x) et DxK^'P'*'^(x), ce qui s'effectuera sans peine à l'aide 

 de la formule obtenue de (3) en y mettant />+l au lieu de p. 



Ces réductions faites, nous trouvons une équation différentielle, linéaire et 

 homogène du second ordre, savoir : 



(l_a3"^)y(-2,_(i + 2v)æj/(') + ^(^+2.)y = 0, (4) 



où y désigne la fonction métasphérique particulière qui est supposée fonction 

 analytique de x; nous verrons du reste que l'équation (4) n'est autre chose qu'un 

 cas particulier de l'équation de Gauss. 



Appliquons maintenant l'identité évidente 



Dril — x^y+^ = — (l+2i/)(l— a-'O^-'-æ 



puis multiplions par (1 — x')""^ les deux membres de (4), il résulte: 



/),[(! -.r=)^+J -yd)] = -p{p^2u)il-x"-y-^.y. (5) 



Or, il est évident que la forme de notre équation différentielle (4) montrera 

 que son intégrale complète est holomorphe dans toute l'étendue du plan des x à 

 l'exception des trois points isolés x = +1, x = — 1, x = oo ; c'est-à-dire que nous 

 avons à étudier séparément les deux cas différents qui correspondent à |x| < 1 

 et |x| > 1. 



Quant au dernier de ces deux cas, introduisons comme variable indépendante 

 au lieu de x, puis appliquons les identités élémentaires 



