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(6) 



il résulte, en vertu de (4), cette équation nouvelle: 



a;2(l_a;2)z(2) + (l-2v— 2x=)xz(')-^(^ + 2i/)z = O, (7) 



où nous avons posé pour abréger z = K'-''Py—\. 



% 2. Les quatre fonctions particulières -M, N, P et Q. 



L'intégrale complète de l'équation dilTérentieile *? \, (4) peut être trouvée en 

 transformant l'équation générale de Gauss, dont l'intégrale complète s'exprime à 

 l'aide de deux fonctions hypergéométriques. Or, il est aussi facile d'appliquer 

 la méthode ordinaire pour intégrer, à l'aide des séries de puissances, une équation 

 dilTérenlielle linéaire. 



A cet effet, introduisons dans § 1, (4) une série de la forme 



Il = y^ Cos ■ x'<+'^ , (1) 



nous aurons pour la détermination des coefficients c^s une formule recursive, 

 comme voici: 



(2s + Å-)(2s + A--l)c2, = (2s + k~p — 2)(2s-\-k-{-fj-i-2',-2)c,s-2, (2) 



tandis que le premier exposant inconnu k se détermine à l'aide de l'équation 



déterminante . , 



k{k-l) = 0, 



ce qui donnera ces deux valeurs fixes et par conséquent toujours différentes: 



k = 0, k = 1, (3) 



d'où, en vertu de (1), (2), ces deux intégrales particulières de § 1, (4) 



y, =^ ^-^^(-7, -f ^, j, X') = <(.x), (5) 



où F désigne la série hypergéométrique ordinaire. 



Il est évident que les deux intégrales particulières (4), (5), applicables pour 

 |x! < 1, sont toujours indépendantes entre elles. 



Introduisons ensuite dans § 1, (7) la série de puissances (1), le même procédé 

 donnera, si nous posons - au lieu de x, les deux autres intégrales particulières 

 de notre équation différentielle 



