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y, ^ xr-pÇ^P, -|-, l-.-p, ^^) = FfGT) (6) 



y^ = x-/'-^^. F (■>+!-, u+P-±^, H-u + ,0, 1) = GfCo;) (7) 



qui sont applicables pour |x| > 1. 



Il est évident que les intégrales (6), (7) sont indépendantes entre elles, le 

 cas particulier ^ == — v excepté. 



Cela posé, il nous reste encore à déterminer des combinaisons linéaires et 

 homogènes des deux groupes d'intégrales particulières que nous venons de trouver, 

 de sorte que les fonctions ainsi obtenues satisfassent aux équations fonctionnelles 



S 1, (1), (3). 



Considérons d'abord le cas \x\ < 1, il faut admettre 



K'' ^ix) = A (v, p) Ff (X) + B (., p) G[' (X) , (8) 



où les coefficients A et ß doivent être indépendants de x tous les deux, parce 

 que la fonction métasphérique qui est fonction analytique de x doit satisfaire à 

 l'équation différentielle S 1, (4). 



Introduisons maintenant dans les équations fonctionnelles susdites la fonction (8), 

 puis appliquons ces deux identités: 



(1 - x'-) D^ FC (x) = (/, + 20 X PP (X) - (/, + 1) (^ + 2.) Gf +' (x) , 



(1 - x^) D^ QP (x) = (^ + 2.) X Gf (x) + Ff +' (x) , 



tirées directement des définitions; il résulte que les deux fonctions A et ß doivent 

 satisfaire aux conditions 



ip+2,)A{,,p) = ß (.,,.; + !), 



ß(.,^) = -(^+1)A(.,;7 + 1), 



ce qui donnera immédiatement: 



{p -r 2,) A {u, p) ^ -(p + 2)A (., p -f 2) , 

 d'où finalement : 



r(i + 1) 

 2r(. + p-p) 



où oj(v,p) désigne une fonction de i/ et p, assujettie à satisfaire à la condition de 

 périodicité 



<"(")/' + 2) = — (o{v,p), 



mais étant du reste complètement arbitraire. 



