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Cela posé, il est évident que ces deux fonctions particulières 



2'-» V^ r(v + f ) sin f 2^-' ^^^ rP^' + -) cos f 



définies toutes les deux, pourvu que |x| < 1 , sont des fonctions métasphériques de 

 l'argument x, du paramètre u et de l'indice p, et elles sont certainement parmi les 

 plus simples de ces sortes de fonctions. 



Dans le second cas, où jx| > 1, nous obtenons de la même manière, en 

 appliquant ces deux identités 



(1 - .T^) D^ Fi (x) = (^ + 2u) X Ff (X) - 2 (. + ^) Fi'^' (æ) 



(^ + 1)(. + |-) 

 (l-x^) Z).. Gf (X) =-■ (p + 2.) .-r Gf (X) . \.^' • G^' {x) , 



faciles à vérifier, ces deux autres fonctions .métasphériques beaucoup plus simples 

 que les deux précédentes: 



^^~ rMr(/9+i) ^l 2 ' 2' ^ ' ^' x^/ ^^^^ 



Q-'^(^)--y ,.,..^,(^^^^l^ -^(- + --2-' ''+2' l + '' + /''x^)- (12) 



Les coefficients que nous venons d'introduire dans nos quatre fonctions méta- 

 sphériques particulières sont choisis, de sorte que tous les coefficients des fonctions 

 susdites qui correspondent à i> = ^ et à /> égal à un entier non négatif deviennent 

 des nombres rationnels. 



On voit du reste que nos quatre fonctions en question deviendront illusoires 

 pour des valeurs particulières du paramètre et de l'indice. Dans ces cas il faut 

 modifier les définitions susdites en multipliant par des fonctions convenables de u 

 et p, périodiques par rapport à p en ayant la période additive -|- 1. 



Or, de tels cas particuliers ne présentent aucun intérêt ici, où il s'agit de 

 fonder une théorie générale et systématique des fonctions sphériques et des fonc- 

 tions analogues. 



§ 3. Le déterminant fonctionnel. 



Dans ce qui suit nous avons à appliquer le déterminant fonctionnel formé 

 des fonctions M et iV ou P et 0; désignons par Kx"'' (x) et Ki'^'Çx) un groupe de 

 ces intégrales de § 1,(4), puis posons: 



