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d'où, en vertu de (4), la formule analogue: 



Q-'^ix) Q^'P-'^ix) 





(10) 



§ 4. La fonction métasphérique la plus générale. 



Les résultats développés dans le paragraphe précédent nous permettent de 

 déterminer facilement la fonction métasphériijue la plus générale. 



A cet effet, remarquons que l'équation S 1, (2) est, par rapport à l'indice p, 

 une équation aux différences finies, linéaire et homogène du second ordre, puis 

 désignons par ivj et K^ les deux fonctions M et N on F et Q, selon que \x\ 1, 

 nous savons que la fonction métasphérique la plus générale de l'argument x, du 

 paramètre v et de l'indice p se présente toujours sous cette forme 



A' "' f (x) = 91"' ^ {X) A-;- '' ( X) + S "• '' (X) A-:- P{x), (1) 



oîi les deux coefficients 5( et 33 doivent satisfaire à la condition de périodicité 



3t"'' + '(.T) = ?r'^x), S8'''' + \.T) = Sö''''(x). (2) 



Introduisons maintenant dans §1, (1) la fonction K^'^ix) ainsi définie, puis 

 remarquons que K^ et K^ sont des solutions de celte équation; nous obtenons la 

 condition, nécessaire et suffisante à la fois, pour que K satisfasse à l'équation 

 fonctionnelle susdite, savoir: 



a;' ^ (x) D^l "' ^ (x) + a;' ^ (x) fl^ 58 "' '' (x) = 0. (3) 



Supposons ensuite que les coefficients ?l et SÖ ne soient pas indépendants de 

 x tous les deux, l'équation (3) se présente aussi sous cette autre forme: 



K.^'P{x) I>^3P'/'(x) ' 



c'est-à-dire que le premier membre de (4) doit être une fonction périodique de p 

 en ayant la période additive -|- 1 , ce qui est impossible, parce que la formule ,^ 3, 

 (3) donnera sans peine: 



K,''P{ x) _ K,"'P + '{x ) D^.^) 



K^''^{x) K:^f + '(x) K:^'P(x)K^^p^'{x)' 



Cela posé, il est évident que les fonctions 91 et 93 doivent nécessairement être 

 indépendantes de x toutes les deux, d'où ce théorème fondamental: 



La fonction métasphérique la plus générale de l'argument x, du paramétre i> et 

 de l'indice p se présente sous cette forme: 



K "' /' ( X) = 91 [u, p) A,"' P(x) + 'i8{y, p) a;- p [X ) , (5) 



