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où A'i el K^ désignent les fonctions particulières M et N ou P et Q, selon que \x\ ^ 1, 

 tandis que 31 et ^ sont des fonctions de v et p , assujetties à satisfaire seulement à 

 la condition de périodicité 



3lK^ + l) = 5l(v,^j, 3i(i;,^ + l) = «(v,^), (6) 



mais étant du reste complètement arbitraires. 



La formule (5) donnera immédiatement ce corollaire du théorème précédent: 



La fonction métasphérique la plus générale est une fonction analytique de son 

 argument, et intégrale de l'équation différentielle § 1, (i). 



La même formule (5) montrera du reste que la fonction métasphérique générale 

 ne présente aucun intérêt particulier, sauf de réunir dans une seule fonction les 

 quatre fonctions particulières introduites dans le § 2. 



Considérons encore cette autre fonction métasphérique: 



L^'Pix) == %{y,p)K,'''P(x) + ':ô,(>,,p)K,<''f{x), (7) 



le théorème sur la multiplication de deux déterminants donnera immédiatement: 



K'''P{x) D.rK'^Pi.x) 



L''P(x) D^L^'P{x) 



K''P(x) K''P + '{x) 



L^'Pix) L'-'^P + '^ix) 





J^-P{x) 



D'-P{x), 



(8) 

 (9) 



où J'-''P(x) et D'-''P(x) désignent les deux déterminants introduits dans le §3. 



§ 5. Les trois invariants d'une fonction métasphérique. 



Les équations fonctionnelles du § 1 que nous avons prises comme définition 

 d'une fonction métasphérique nous permettent de soumettre le paramètre et l'indice 

 d'une telle fonction à certaines transformations simples qui nous conduiront 

 toujours à des fonctions métasphériques, abstraction faite d'un simple facteur 

 peut-être. 



1°. Posons dans S 1, (1), (3) ~p—2v au lieu de p, nous retrouvons, dans 

 l'ordre inverse, ces mêmes équations fonctionnelles, ce qui donnera une identité 

 générale de la forme suivante: ' 



K-^^-p~^'^(x) = K,'^P{x), (1) 



d'où le théorème général : 



La fonction K"' ~P~'^'-'{x) est une fonction métasphérique de l'argument x, du 

 paramétre i/ et de l'indice p. 



Considérons les deux fonctions particulières P et Q, il résulte des identités de 

 la forme suivante: 



Q" 



'[X) 



a{,>,p)P'"P(x) + b{,,p)Q'-P(x) 

 a, [u, p] P^'P (X) + b,{;. p) Q'^P ix) , 



(2) 

 (3) 



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