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où les quatre coefllcienls a el b sont des lonctions périodiques de p en ayant la 

 période additive -|- 1. Or, faisons tourner autour du point critique x = ao la 

 variable x, nous aurons immédiatement 



a(v,p) = b^{v,fj) = 0; 

 multiplions ensuite par xf^^^ respectivement par x^f les deux membres des 

 formules ainsi simplifiées (2) et (3), puis mettons |xj = oo , nous aurons finalement 

 ces deux formules élégantes: 



p. -.-..,,, ^_ 2— sin. (, + 2.) _ ^^.„,^.^ ^,^ 



Vn r{v) sin n {p-\- v\ 



Q^ -. - (X) ^ ^ Vn_rj^^in^SP±A . p., ^,) , ^5^ 



2' ^"^sin;:^ 



tandis que les formules analogues pour M et N sont beaucoup plus compliquées. 



Les formules (4), (5) sont très intéressantes parce qu'elles montrent que nous 

 pouvons nous borner à étudier une seule des deux fonctions P et Q, et alors il 

 faut préférer la fonction Q, parce qu'elle est la plus simple. 



Cela posé, la définition §2, (12) de Q^'^{x) donnera immédiatement cette 

 proposition intéressante : 



Toute série hypergéométriqne , dans laquelle la différence des deux premiers 

 éléments est égale à ^, est une fonction métasphérique. abstraction faite d'un simple 

 facteur. 



Nous aurons en etïet, en vertu de .^ 2, (12): 



\ ^ 'i X / Vrt ■ l (a) 



ou bien, en vertu de § 2, (11): 



pi^ "±1 B+\ M r{a-ß)r{l-a){2xr p«-^. -« r-r-). (7) 



^l2 ' 2 ' ^+^'xV ~ r{—ß) 



La formule (6) nous permet de déduire immédiatement pour Q^'P{x) une 

 expression intégrale très élégante. 



A cet effet, prenons pour point de départ cette formule 



Jo y'iP+' 2T(v+i) l 2 ' 2 ' ' yV 



due à Hankel^) et applicable pourvu que 



9{(/> + v)>-l, 3f}(y±ja-) > 0, |.x| < |y| ; 



une simple modification des significations donnera immédiatement la formule 

 cherchée, savoir „ 



O^^Pix) = -^ • {jP-^'iit^e-t^t'-'dt , 



') Voir müii Handbucli der Zylinderfunktioiien, p. IH.î. 



