31 2ßV) 



Pour déterminer les (jualre coefficients inconnus (jui fif^urent dans (5), ((i) 

 mettons fout d'abord .v = oo , nous aurons: 



P'''P{^0) = A-P--' + ''+'^^ - ''-'{0) + B-Q'-'-rf' + '^' -P-'^(O) \ 



tandis que nous obtenons deux autres systèmes d'équations linéaires en mettant 

 X = 0, X = — I. 



Appliquons ensuite les invariants § 5, (9), (10), nous obtenons, en vertu de 

 (5), (6), ces deux autres identités analogues: 



•"Hvrh) - (ri?) ' ■ {''' ■'"''""■'& + «'■ o'-"""" (.',•)) '«I 



dont les coefficients se déterminent soit par un procédé analogue au précédant soit 

 à l'aide des résultats déjà obtenus pour (5) et (6) en Iransformaul les paramètres 

 1/ et fi comme nous venons de l'indiciuer. 



§ 16. Champ de convergence d'une série de fonctions 



métasphériques. 



Les formules que nous venons de développer dans le § 12, savoir 



^^"(■'■^ = fi^jT^Vi) ■ '(-'' ^' ' -"-'"^ h) (^) 



où nous avons posé pour abréger ç = a- 4: V^^ — 1 , nous permettent de discuter 

 le champ de convergence d'une série de fonctions métasphériques. 

 A cet effet, considérons la série infinie 



s = CO 



^a«- O"' ^•+ ■'(,»•), 



.9 = 



OÙ il laut admettre [f j > 1, puis mettons avec C. Neumann ') 



.r = C+'!y = COS (a — //y), (3) 



où i", 7j, a et ß désignent des quantités réelles, nous aurons: 



\/\x^ — 1 = ± ' sin (a — iß) , 



ce qui donnera ensuite: 



.v±V.v'-l\ = e^, (4) 



de sorte qu'il faut admettre ß > 0. 



') Ueber die Entwicklung einer Funktion mit imaginärem Argument nach ilcn Kugelfnnktioncn 

 erster und zweiter Art, p. fi; Halle 1862. 



