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Remarquons ensuite que les identités (3) donnent ces deux autres: 



C = ^2 ■ *^"^ "■ ' ■'î = 2 ■ ^'" " ' *• ■ 



d'où immédiatement: 



d'où ce lliéorème général: 



Supposons que la série de puissances 



a„ + 01 .V + a, .v"- + «3 .v=' + (7) 



ait son ra;/o;i de convergence éfjal à r, qui est plus ijrand que Vunilé, la série de 

 fonctions mêtasphériques ^^^ 



^a^.Q-^^P+^(.v) (8) 



s = (I 



est convergente à l'extérieur de l'ellipse 



\2 ~ 2rl \2 2W 



^lij a ses foyers dans les points (J^^ 1, 0). 



§ 17. Développement d'une seule puissance. 



Comme application du théorème général que nous venons de démontrer, 

 étudions une série de la forme 



s ■= X 



1.-P-2, ^ \^a'^'f' -Q^'f+'^'i-v). (1) 



.s = 



A cet effet, supposons d'abord convergente et differentiable terme à terme 

 deux fois par rapport à .r la série qui figure au second membre de (1), puis intro- 

 duisons l'opération suivante: 



'^x f(.r) = {l-œ') P (x) - (1 + 2.) X /•(!) (.T) ; 

 nous aurons, en vertu de l'équation différentielle § 1, (4): 



>'tAr'^+''ix) = -ip+p){p^p+2v)Q'"f+P{x), 

 tandis (ju'un calcul direct donnera: 



,y,.T-^-^^ = (p + 2u){p + 2v + l)x-r~^''-'-p{p + 2,)x-P''''; 

 il résulle, en vertu de (1), cet autre développement: 



(p + 2u)(p + 2,,+ \)x-P-'''-'-pip + 2u)x-f'~"' = 



-^<-' '' ^f + 2s) {p + 2s + 2v) O"' I' I- '•' (.r). 



(2) 



