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Cela posé, développons, en vertu de (1), les deux puissances qui figurent au 

 premier membre de (2), puis égalons les coefficients de la même fonction Q dans 

 l'identité ainsi obtenue, nous aurons sans peine cette formule recursive : 



ir. + 2,){p + 2,+l) ■ a/i/' + ä = -4s(V. + v + s) • a;-/'. (3) 



Multiplions ensuite par .ti" + ^'' les deux membres de (1), puis mettons x = oo, 

 nous aurons: 



„„.. = 2/'+'_. /-(. + , + !) 



d'où, en vertu de (3) et en appliquant la conclusion ordinaire de n à n-\-\ , cette 

 expression générale : 



.,n (-1 )"(^+/> + 2n) • r{, + p + n)2P+' 



Vtt T\p + 2v)n\ 

 de sorte ((ue nous avons -finalement ce développement empirique: 



(5) 



x-P- 



r(^+2oi/ff ^ «• 



que nous avons à démontrer maintenant d'une manière rigoureuse. 



A cet etïet, remarquons tout d'abord que la série qui figure au second 

 membre de (6) est convergente comme une série de puissances, pourvu que 

 jx^l/x''^ — 1| >1; de plus désignons pas y la somme de cette série convergente, la 

 formule (3) donnera pour y cette équation linéaire, mais non homogène: 

 (l_^2)y(o, _^i^2.).xya) = ip+2u)ip+2u+\)x-P-''-' - pip+2,)x-r'-'\ 



d'où immédiatement: 



y = a--/'-^^+C.$(l-a,>^)'' + U.v+C. , (7) 



où c et Cl désignent des constantes indépendantes de x. 



Cela posé, faisons tourner autour du point critique a- = oo la variable x, il 

 résulte immédiatement C = Cj = 0; telle est la démonstration rigoureuse de la 

 formule (6). 



Mettons ensuite dans (6) —p — 2u au lieu de v, une application de l'invariant 

 §5, (5) donnera après un simple calcul cet autre développement: — - 



s = 



qui est applicable où l'est la formule (6). 



11. K. I). Viilcnsli- Si-lsk. SUr.. 7. ll;fkUi'. nalurviilcnsl,. (>i> iii;itlu-m. AM. 11. 



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