272 34 



CHAPITRE III. 

 Les fonctions ultrasphériques. 



§ 18. Définitions des fonctions ultraspiiériques. 



Parmi les fonctions métasphériques, celles à l'indice entier méritent d'être 

 étudiées séparément, à la fois au point de vue analytique et au point de vue 

 historique. 



En effet, mettons p = n, où n désigne un entier non négatif, il est évident 

 que les deux fonctions M'''"(x) et P'''"(x), introduites dans le §2, se réduisent au 

 même polynôme entier de x et v, étant du degré ;j par rapport à x, de sorte que 

 nous obtenons pour cette fonction particulière les expressions suivantes, savoir en 

 appliquant § 2, (11): 



tandis que la formule § 2, (9) "donnera de même: 



remarquons encore cette autre représentation générale de notre fonction particulière 



(2) 



^'r{.)\^ s!(n-2s)! ^^■^'' ^^> 



s = Il ' 



(jui peut être déduite immédiatement de (1) où de (2). 

 Nous aurons par exemple: 



P^'V-k) = 1, P^-'Or) = 2ua-, (4) 



tandis que les définitions générales du § 2 donnent 



p^'.-nC.T) = n, (5) 



où n désigne un positif entier. 



La fonction P^''^[x) étant un polynôme entier de x, la formule S 7, (4) est 

 toujours applicable dans ce cas, de sorte que nous aurons: 



p.,„(l) = Z>±2iO (6) 



^' n! r(2i/) ' ^ ' 



tandis que la formule (3) donnera immédiatement: 



P >,•■„+ 1 (0) = , P - 2» (0) = ~7f yfe^- • (7) 



