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Quanl à la l'onction correspondante (^""(.i-), nous aurons pour |x-j >1: 



d'où, pour n=^ — 1, cette expression simple: 



y -H.x-)==^^m^-(x^-l )*-■'. (9) 



Pour les fonctions P''"(a) et Q^-"{x) ainsi définies nous proposons le nom de 

 fonctions ullrasphériques; mettons en elTet v = î^, nous retrouvons les fonctions 

 sphériques ordinaires, savoir: 



p h n (a:j _ p " (.r) , Q *■ " (x) = <J " (a-). (10) 



Dans ce cas particulier, la définition (8) de Q'''"(x) deviendra illusoire pour 

 des valeurs négatives entières de n. 



Posons dans (8) y = i, n = 0, il résulte cette expression simple: 



C)°(a;) = l. log^, \x\>l. (11) 



§ 19. Propriétés fondamentales des fonctions uitrasphériques. 



La définition de P" " (æ) montre que cette fonction n'a dans toute l'étendue 

 du plan des x que le seul point singulier x = ce , qui est un pôle ordinaire de 

 l'ordre n. Quant à 0''"(x-), cette fonction a généralement des points critiques 

 dans æ = 00 , x = +1 et a- = —1. 



Les formules générales du § 8 donnent immédiatement ici ces cas plus parti- 

 culiers: 



5D(oo) g='.n(æ) = eJ"'^' • 0''''(a') (1) 



^C+l)«?"' "(•»'■) = (— l)"22''-ir(^)l/^e-'"^' • P^.n(.r) — e--*"^' • (^"'"(a-) (2) 

 S)(— 1) Q"'" (x) = (— l)«22''-i ^(^)^^;^e-3>"f'■ . P''.n(a;)_ e-'2v7r.- . (^"-«(a;), (3) 



tandis que les opérations 3 correspondantes nous conduiraient à des expressions 

 obtenues de celles qui figurent aux seconds membres de (1), (2), (3) en y changeant 

 dans les exposants le signe de i. 



Posons dans (1) ^ =v, nous verrons que le point x = oo est un point ordi- 

 naire de la fonction sphérique Q"{x). 



Quant à (.)"■" (a-) pour |a;| <1, la valeur de cette fonction se détermine 

 immédiatement à l'aide des formules §8, (7), (9); appliquons ensuite les définitions 

 §18, (2), il résulte généralement: 



e ± -'■ -0- « (x) = (-l)n ^l,S^^ -P'^- (x) =F {^ • />- " f.v) , (4) 



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