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où nous avons posé pour abréger: 



(-l)"rv + n+| .1 1 3 \ 



/'(n+y ^^ 2 2/ 



(_iy. /•(,+ „+!) ,11 



L ^. •-'"+' (.r) = -3-—- • F - ^ - ,7 , . + n + - - , ^ , o:-^ 



r{n + l) ^ ^ 2 2 



(5) 



Nous avons encore à développer ici une formule intéressante concernant la 

 fonction Q''"(.t), formule dont le cas particulier "j ■= \ est dû à Gauss'); dans 

 notre démonstration nous suivons G. Neumann *), en généralisant un peu la méthode 

 élégante de l'illustre géomètre allemand. 



A cet effet, remarquons tout d'abord que la définition § 1, (2) d'une fonction 

 métasphérique générale donnera sans peine, par la conclusion ordinaire de n à 

 n-\-\, une i-elation de cette forme: 



K ^. n (x) = A "• " (x) K "' 1 (,(■) + ß "• " {x) K "• ö (.r) , (6) 



où n désigne un positif entier, tandis que yi et ß sont des polynômes entiers de æ 

 et de u qui sont respectivement du degré n -1 ou n — 2 par rapport à x. 

 Gela posé, la formule (6) donnera, en vertu de §18, (4): 



?"• "(x) = 2vx ■ A-^' « {x) + ß"' « (x) , (7) 



tandis que nous obtenons de ,§ 1, (2) et de § 18, (9): 



().,i(^) = 2vx ■ Q'^-nx) - *^^j— • (a;^-l)*-^ (8) 



Introduisons maintenant dans (6) l'expression (8), il résuite, en vertu de (7), 

 cette formule élégante : 



Q'^.n{x) = Q--'-"(x) ■ P^"(.T) - -^4—-^ • (x=-l)^-^ • A^."(.r), (9) 



d'où particulièrement pour u = A , en niellant A^-"(x) = A"(.v) et en appliquant 

 la formule particulière § 18, (11): 



Q" ix) = 2- • P" U') ■ log _^î - A " (x) , (10) 



ce qui est précisément la formule de Gauss. 



Quant aux deux polynômes A'-"'Ux) et B'-''"{x), appliquons (9) puis (7); il 

 résulte cette proposition intéressante : 



Les deux pohinomes A'-''"(x) et B'-'-"{x) aont des solutions de l'équation aux 

 différences finies § 1, (2) dans laquelle l'indice p est un jmsitif entier. 



Remarquons ensuite que Q'''"{x) et P'''"(a') satisfont toutes les deux à l'équa- 

 tion différentielle § 1, (4), tandis que les formules § 6, (10) et § 18, (9) montrent 



') Heine, Handbuch, t. I, p. 141: 1878. 



