37 27S 



que la fonction 



(l_a,-5).-i/j^()v,"(.r) 



est indépendante de x; il résulte, en vertu de (9j, pour A^'"(.v) cette équation 

 ditïérenlielle linéaire non homogène du second ordre : 



(l_a;2)y(2) + (2v-3).rj/(i' — (n+l)(n + 2i.-l);/ = D^P"'« O^-) , (H) 



dont le cas particulier v = \ est analogue à § 1, (4). 



DiiTérentions ensuite une et deux fois l'équation (11), puis remarquons que 

 ü,r:P''"{.v) est une fonction ultrasphérique /v^+i " ' (.r); il résulte, en vertu de §1, 

 (4) pour y=A'^-"{x), cette équation homogène du quatrième ordre: 



[l-x^y yW - 10. V (l-.r^) yP<) + (8 -8. -(4.^ + 4. -23) x^) y(-) + | 



+ (4ni'(i> + n)4-4v= + ^-l).r ■ yd' — (/î^— 1) (n + 2i/f — 1) y = 0. j ^ ■ 



On voit que la fonction A "• " (x) joue le même rôle dans la théorie des fonc- 

 tions ullrasphériques cjue le polynôme de Lommel ') dans la théorie des fonctions 

 cylindriques. Cependant on n'a pas encore réussi à donner sous une forme simple 

 les coefficients du polynôme A'''"(x), même dans le cas le plus simple où v = -7. 



§20. Étude de la fonction (l — 2«,»^ + a") ""■ 



Pour étudier d'un point de vue tout à fait élémentaire quelques autres cas 

 particuliers de la fonction P^-'^lx), nous avons à prendre pour point de départ la 

 série infinie s = x 



f.Jx,a) = ^' P-»(.r) • «» (1) 



qui est convergente, pourvu ((ue |«| -C \x ^Vx'^ — i|, comme le montrent claire- 

 ment les résultats obtenus dans le § 16. 



A cet effet, appliquons les formules .^ 6, (12), (13), nous trouvons pour /"^ (x, a) 

 ces deux équation fonctionnelles: 



(l-2a.v-f «^)/;+i(a-, «) = /;(.v, a) 



d f ix, a) ,, , N -• / X 



gj — = 2 K (x — «) /;+! (x, a) , — 



d'où cette équation différentielle du premier ordre : 



SM^,a) 2',[x — a) ft,., 



da \-2ux^a^' '"^ ''>' 



ce qui donnera pour la fonction fAx, a) une expression de la forme 



f,{x,a) = /(^.T) • (1-2« .!•+«')-% 



où la fonction -^ (i/, x) est indépendante de «. Pour déterminer la valeur de ^, 



') Voir mon Handbucli der Zylinderfunktionen, p. 23; 1904. 



