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mêlions dans (1) « = ü, ce (jui donnera /■(.»■, üj^l, de sorle que nous obtenons 

 finalenienl cette formule classique dans l'histoire des fonctions sphériques: 



s = 00 



(1 — 2a .!■+«'')-'' = y^ P^'^ix) ■ a", \a\ < \x±Vx^ — l\. (2) 



Cela posé, mettons dans (2) v = 1, r = cos W, il résulte 



s— r. 

 1 



1— 2«cos# + a" 

 or, l'identité évidente 



1 



1 — 2a cos # -I- a« 2 

 donnera cet autre développement : 



= y^ pi.-(cos/y) ■ «»; (3) 



1 / e'" e-'" \ 



isin^\l_ae''^ l—ae-'^J 



s = » 



1 — 2acosö + a« ^ sin ^ ' ^ '^ 



s=l) 



d'oii, en vertu de (3) : 



sin (/î 4-1)^ ,r■^ 



pi. " cos 0] = ■ n ■ ('^) 



sin 



Ditférentions ensuite par rapport à i/ la formule (2), puis mettons y = Ü, il 

 résulte de même: 



s =00 



— log(l— 2fitcos(y + «2) == y (L>,P''"(cos^)), = „ • «», (6j 



s = u 



de sorte que l'identité évidente 



— log (1 — 2« cos ^ + «2) = — log(l— ae''')-log(l— «e-'^) 

 donnera, en vertu de la série logarithmique ordinaire, cette autre identité: 



(D,P''"(cos^))^ = o = — • cos {nfl), n > 1. (7) 



Appliquons maintenant la série de puissances toujours convergente : 



1 



il résulte, en vertu de (7), cette autre formule: 



2 



lim(/'(i.)P^"(cosö)) = - • cos(nÖ), n ^ 1. (8) 



v = o 'i 



Cela posé, il est évident que la formule S 18, (3) donnera, en vertu de (5) et 



(8), ces deux développements élémentaires très connus: 



sin(/)-fl)W = sin^ • ^ (-!)''(" ^ *) (2 cos «j''-^" (9) 



