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- (_l)s (n-s-V 

 cos (""' — '^ - — ' - ' 



s = 



Revenons maintenant à la formule générale (2), puis mettons-y p au lieu de v, 

 une multiplication des deux séries infinies ainsi obtenues donnera immédiatement 

 l'identité nouvelle: 



p'+f' " (x) = y^ p'^ ' (x) • pp' "-' (x) , (11) 



S = ll 



d'où pour ,« = 1 et .i* = cosÖ: 



p.+i, n (cos 6) = V" ^'" ^"^nft ^^ ^ ■ '^''' ' ('^"^ '^^ ' (1^) 



tandis que 1 hypothèse i/ = ^ = i donnera de même : 



s = n 



posons enfin dans (11) /> = — v, il résulte: 



s =71 



= y^ P-''' ^ (x) P"' "-» (.r). (14) 



s = 



Pour donner une autre application de (2) mettons-y — x au lieu de x, puis 

 appliquons l'identité 



(1 — 2«.T + a"-) (1 + 2ax + a"') = 1-2 (2x^ - 1) a'- + a\ 

 la multiplication des deux séries ainsi obtenues donnera la formule : 



y^ i~iyp ■■'■'' (x)P'-''"-ux} = , i" (15) 



irîi ^ P 2(2.^-— 1), 



selon que n est supposé impair ou pair; mettons ensuite dans (15) x = cos ^, il 

 résulte la formule remarquable : 



P''"{cos2f)} = ^ { — l)'s„~s ■ P"-' {cos ß) P''^-''-' {cos 0) , ~JÏQ) 



s = 



OÙ il faut admettre Sq = 1 et généralement £s==2, pour s>l. 



S 21. La formule différentielle d'Euler dite de Rodrigues. 



Les formules différentielles que nous venons de développer dans le § 5 se 

 présentent sous une forme extrêmement élégante dans le cas particulier où les 

 fonctions métasphériques se réduisent à des fonctions ultrasphériques. 



