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En effet, meltons dans § 5, (17) ^ = p ^ n, il résulte, en vertu de § 18, (4), 

 cette formule célèbre, due à Jacobi ') : 



tJxl[i xj j 2"r(. + n)r(n + 2v) ^^ "^ > ' ^^^ '>^ 



dont le cas particulier ^ = — a été connu déjà par Euler comme l'a remarqué 

 Imschenetsky^); la même formule particulière a été déduite plus tard par Rodri- 

 GUES, Ivory et Jacobi ^). 



Or, il semble que la remarque d'hiscHENETSKY concernant la priorité d'EuLER 

 soit restée inaperçue jusqu'ici. En etïet, dans son excellente monographie sur les 

 fonctions sphériques, M. Wangerin^) attribue à Rodrigues la formule particulière 

 susdite. 



Supposons maintenant réel le paramètre u, le théorème généralisé de Rolle 

 donnera cette proposition intéressante: 



Tous les n zéros de la fonction iillrasphérique P"- " (.r ), dont le paramétre u est 

 réel et de sorte que v >^ ~ , sont réels et situés entre les limites +1 et — 1. 



Posons ensuite dans (1) v = 1 et n — 1 au lieu de ;i, il résulte, en vertu de 

 §20, (5), cette formule célèbre due à Jacobi^): 



B^«-J [(l-_.r2)'.-d] = (— l)"-'-l-3-o- /..■.(2n — 1 ) _ ^.^^ .^^ arc cos .r). (2) 



Quant à la formule § 5, ( 18), les hypothèses /> = /j = n donnent ici ce résultat 

 plus particulier: 



Di'[{x'-ir + "-i ■ (r + "°(.r)J = — -7^'^)— — • (a-— !)"-*• C>^'" (a-), (3) 



d'où, en vertu de la formule intégrale obtenue de § 7, (7) en y mettant ^ ^ 0, 

 u + n au lieu de v et tx au lieu de t, cette autre formule"): 



Q W -2«.,,! r(. + n)(.r^-lj^-^ ''M ^' ]j 



dt 



(/2_J-)v + ;i+è 



. (4) 



Remarquons en passant que la formule différentielle § 6, (10) donnera, en 

 vertu de § 18, (9), cette autre identité: 



^4 'J W (^ 2) Td' + n + l) ^* ' ' ' ' 



formule qui peut être considérée comme l'inversion de la formule intégrale § 7, (7). 

 Quant aux invariants du §5, la formule (10) est la seule qui donnera pour les 

 fonctions ultrasphériques un résultat remarquable; nous aurons: 



1) Heine: Handbuch, t. I, p. 452 ; 1878. 



'-') .Jahrbuch über die Fortschritte der Matliematik. t. 14, p. 2.')3; 1882. 



') Heine loc. cit. p. 157. 



') Encyklopädle der mathematischen Wissenschaften, t. II, p. 703; 1904. 



■'■) Journal de Grelle, t. 15; 1831!. 



") Comparer, pour v = 5, Heine, Handbuch, t. I, j). 150; 1878. 



