228 IV. Kapitel. 30 



stændige Behandling af en bestemt Opgave: Nedfældelsen af en Normal fra et Punkt 

 paa en Keglesnitslinie. En saadan Behandling niaa indbefatte baade Opgavens 

 Løsning og dens Diorisme eller Afgrænsningen af de Tilfælde, hvor flere eller færre 

 Løsninger er mulige. Denne Afgrænsning, som nøje knytter sig til Opgavens Løs- 

 ning og ikke umiddelbart har noget med Infinitesimalundersøgelser at gøre, kommer 

 til at indbefatte Evolutens Bestemmelse. Hele Undersøgelsen støtter sig paa de 

 almindelige Egenskaber ved Keglesnittene, som er fremsatte i disses i I— IV. Bog 

 indeholdte „Elementer"; dette er jo netop Elementernes Bestemmelse, men deri 

 ligger ogsaa, at man ikke i V. Bog er førl ind i en ny og højere Sfære. Denne 

 sidste Omstændighed skal naturligvis ikke formindske vor Paaskønnelse af, at 

 Apollonius i denne Bog saa smukt og sikkert naar det Maal, han har sat sig; men 

 saalænge han stiler mod det bestemte Maal og er tilfreds med at naa det for dets 

 egen Skyld, bliver Udbyttet ikke „Elementer". Noget andet er det, at man ved 

 videre Forarbejdelse kan faa dannet „Elementer" for endnu videregaaende Under- 

 søgelser. Ogsaa dette antyder Apollonios i Fortalen ved at omtale Betydningen 

 af Løsning af de nævnte Opgaver og overhovedet af Berøringsopgaver for Bestem- 

 melsen af Maxima og Minima. 



I III. Bog har han derimod fuldstændiggjort de Elementer, hvoraf en vigtig 

 Klasse af videregaaende Undersøgelser lader sig sammensætte. Af denne Bog frem- 

 drages vel ofte det smukke og let læste — altsaa ogsaa i moderne Betydning „elementære" 

 — Afsnit om Brændpunkterne; men Apollonios selv peger i sin Fortale især hen paa 

 den større forudgaaende, ingenlunde let læste og derfor mindre paaagtede Del af 

 Bogen, naar han skal nævne de Klasser af videregaaende Undersøgelser, ved hvilke 

 der bliver Brug for denne Bogs Indhold, og hvis „Elementer" den altsaa indeholder. 

 I denne Del af Bogen fuldstændiggøres det vistnok tidligere af Euklid opstillede 

 Bevis for Potenssælningen eller „Newtons Sætning", som man har kaldt den. 

 Fuldstændiggørelsen er sikkert den, som først blev mulig, da Apollonios 

 fandt paa at betragte to sammenhørende Hyperbelgrene som en og samme 

 Kurve. Denne Fuldstændiggørelse var netop nødvendig for Sætningen som „elemen- 

 tær" i den antike Forstand, nemlig som en saadan, der skal spille en Hovedrolle 

 ved Sammensætningen af nye Sætninger; uden det vil ogsaa disse blive ufuldstæn- 

 dige, hvad Apollonios netop i sin Fortale bebrejder Euklid. Af Fortalen erfarer 

 man, at denne Bogs Sætninger, blandt hvilke de forskellige Skikkelser af den nævnte 

 Sætning spiller Hovedrollen, er nyttige for „Synthesis" og Diorismer af „rumlige 

 Opgaver" (altsaa af saadanne, som vi nu løser ved Ligninger af 3. Grad), endvidere 

 for en fuldstændigere „Synthesis" af Stedet til 3 eller 4 Linier'), end Euklid har 



') I det citerede Skrift henstiller Paul Tannery til mig at gøre Rede for denne sidste Anvendelse 

 af Ordet „Synthese". 1 den Anledning skal jeg bemærke, at det endnu ikke kan kaldes en „Synthese'' 

 af disse geometriske Steder, naar det bevises, at et Keglesnit omskrevet om en Firkant, eller som be- 

 rører to Sider i en Trekant i deres Skæringspunkter med den tredie, kan betragtes som „Sted til disse 

 Figurers 4 eller 3 Sider". Den sidste Sætning er bevist i Apollonios' 111. Bog, 53—56; den første lader 

 sig, naar to modstaaende af de 4 Linier er parallele, paa lignende Maade knytte til „Potenssætningen", 

 hvis forskellige Tilfælde bevises i Apollonios' 111. Bog, 16—23. 1 Hovedsagen raaa den oraspurgte Syn- 



